Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Допустим, ветер дует в одном направлении на протяжении всего полета. Очевидно, что при попутном ветре при движении самолета туда и обратно полет в два конца займет меньше времени, чем при полном отсутствии ветра. Можно предположить, что самолет летит из пункта А в пункт Б по прямой линии туда и обратно. Для начала проанализируйте, что произойдет, если самолет летит из пункта А в пункт Б при попутном ветре, ускоряющем его движение на этом участке пути, а возвращается при встречном, замедляющем его перемещение в обратном направлении. Будет ли влияние ветра полностью нейтрализовано в этом случае? Подумайте также о том, как будет лететь самолет, если ветер станет дуть под углом к траектории полета.

Изучение приборной панели во время длинной поездки на автомобиле тоже дает повод для арифметических развлечений.

Ответ

Обычно в современных автомобилях устанавливают два одометра (измеряют количество оборотов колеса). Первый измеряет общий пробег автомобиля за весь период эксплуатации (его показания не обнуляются), а второй измеряет путь, пройденный автомобилем за одну поездку (его показания можно обнулить). Если показания любого из одометров будут состоять из одних девяток, то следующее число, которое он покажет, будет включать в себя только нули.

Допустим, первые четыре цифры на одометрах одинаковые, как показано на рисунке.

Если не обнулять счетчик пробега за одну поездку, при каком общем пробеге на обоих одометрах снова первые четыре цифры будут одинаковыми?

А теперь задумаемся над тем, как мы передвигаемся благодаря собственным усилиям.

Ответ

1. Вы принимаете участие в забеге и обгоняете человека, бегущего вторым. Какое место вы занимаете?

2. Вы участвуете в забеге и обгоняете человека, бегущего последним. Какое место вы занимаете теперь?

Ответ

Констанс и Дафни участвуют в забеге ровно на 26,2 мили. Констанс бежит весь марафон с постоянной скоростью: 1 миля за 8 минут. Дафни бежит с разной скоростью, чередуя рывки с медленным бегом, и покрывает каждую милю за 8 минут и 1 секунду. Другими словами, какую бы милю дистанции вы ни взяли – первую, последнюю или, скажем, отрезок с 13,6 мили до 14,6 мили, – Констанс пробежит ее ровно за 8 минут, а Дафни на секунду больше.

Может ли Дафни выиграть этот забег?

Не предоставляя слишком много информации, хочу отметить, что это возможно, причем главное – найти правильную стратегию. На мой взгляд, задачу можно отнести к разряду парадоксов, а не головоломок. Существуют логические парадоксы – предположения, приводящие к внутренне противоречивым выводам, и шуточные парадоксы – на первый взгляд абсурдные утверждения, которые после внимательного анализа оказываются истинными. Ниже предлагаются две задачи такого типа.

Ответ

Стокилограммовую кучу картофеля оставили лежать на солнце. Вес картофеля на 99 процентов состоит из воды. После дня пребывания на солнце часть воды испарилась, и теперь 98 процентов веса картофеля приходится на воду. Чему равен новый вес картофеля?

Следующая задача была опубликована в издании 1896 года книги Уолтера Роуза Болла Mathematical Recreations and Essays [23] – первой важной книги по занимательной математике, написанной на английском языке. Впервые увидев свет в 1892 году, эта книга выдержала 14 изданий, причем последние четыре (вышедшие после смерти автора), 1939-го, 1942-го, 1974-го и 1987 годов, включали в себя поправки и дополнительные разделы, написанные известным канадским геометром Гарольдом Коксетером. Помимо всего того, чем Роуз Болл занимался в Кембридже, где он построил свою научную карьеру, он основал одно из старейших в мире сообществ иллюзионистов Pentacle Club. В своем завещании математик распорядился передать деньги Оксфордскому и Кембриджскому университетам, каждый из которых учредил кафедру Роуза Болла по математике.

Ответ

Вам предложили новую работу со стартовой заработной платой 10 тысяч фунтов в год. Начальник просит вас выбрать один из способов ее повышения.

План А: повышение на 500 фунтов каждые полгода, то есть каждые шесть месяцев ваша заработная плата на следующие шесть месяцев увеличивается на 500 фунтов.

План Б: ежегодное повышение на 2000 фунтов.

Какой план вы выберете?

Ответ

Дик распиливает свою трость на две части. Если точка деления выбирается случайным образом, какова в среднем длина меньшей части трости?

Одна из самых известных задач Эдуарда Люка – это ménage [24], или задача о супружеских парах, в которой необходимо определить, каким количеством способов можно рассадить за столом пары мужчин и женщин так, чтобы мужчины чередовались с женщинами и ни один мужчина не сидел рядом со своей женой. Решение этой задачи слишком сложное для нашей книги; сам Люка включил его в виде приложения в научный труд о теории чисел, а не в книги о занимательной математике. Но если вам любопытно, я сообщу ответ: для двух пар сделать это невозможно, для трех пар существует 12 способов, для четырех – 96 способов, а для пяти – 3120 способов.

Тем не менее весьма забавно, что званые ужины могут стать поводом для изобретения замечательных головоломок.

Ответ

Эдвард и Люси пригласили на ужин четыре пары. Каждый человек пожимает руку только тому, кого не встречал раньше. Затем Эдвард спрашивает свою жену и восьмерых гостей, скольким людям они пожали руки, и получает девять разных ответов.

Скольким приглашенным пожала руку Люси?

Мы можем сделать ситуацию не столь официальной.

Ответ

Эдвард и Люси пригласили на ужин нескольких друзей. Некоторые из них не состоят в браке, а некоторые образуют разнополые пары. Мужчины приветствуют друг друга рукопожатиями. Женщины приветствуют и мужчин, и женщин поцелуями. (Разумеется, двое из одной пары не приветствуют друг друга.) Каждый гость на вечеринке приветствует Эдварда, Люси и всех остальных гостей. Исходя из того, что всего было шесть рукопожатий и 12 поцелуев, сколько гостей присутствовало на ужине и сколько среди них людей, не состоящих в браке?

Задачи о званых ужинах сводятся к анализу комбинаций. Хотя порой их слишком много, чтобы все подсчитать. Так что не делайте этого. А когда пойдете в театр, не забудьте свой билет.

Ответ