Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Одним из исключительных талантов Дьюдени была его способность сделать головоломку из любого обычного предмета. Ниже приведена задача о сигарах, которую он придумал в своем лондонском клубе. «[Эта задача] надолго завладела вниманием членов клуба, – писал Дьюдени. – Они никак не могли разобраться в ней и считали неразрешимой. Однако я продемонстрирую, что ответ на удивление прост».

В головоломке речь идет о сигарах, но мне кажется, что найти решение легче, если работать с монетами, поэтому я сформулировал ее иначе. (Если вы хотите знать оригинальный текст, просто замените в условии слово «монета» на слово «сигара».)

Ответ

Два игрока сидят за квадратным столом. Сначала первый кладет монету на стол, затем второй, после чего они продолжают делать это по очереди. По условию задачи, монеты не должны соприкасаться. Победителем становится тот, кто положит монету на последнее свободное место.

Кроме того, размер стола должен быть больше одной монеты, иначе игра окончится после первого же хода; все монеты одинаковые.

Один игрок непременно выиграет. Кто именно – тот, кто начинает игру, или тот, кто ходит вторым? И какова его стратегия?

К рассказу о Дьюдени мы вернемся немного позже, а сейчас, пока монеты лежат на столе, я хотел бы еще немного позабавиться с ними.

Во вступительной речи перед Эдинбургским математическим обществом в 1883 году шотландский математический физик Питер Гатри Тэйт, в частности, заявил, что узнал о представленной ниже головоломке во время путешествия на поезде. Меня очень радует то, что головоломки с монетами занимают пассажиров на протяжении всего периода существования железных дорог.

Вклад Тэйта в науку носил широкий и разноплановый характер. Например, он немало потрудился над развитием теории узлов [29], был страстным экспериментатором и плодовитым автором, написал классический учебник по физике в соавторстве с Уильямом Томсоном – лордом Кельвином. Студенты его обожали за поразительные научные демонстрации с применением огромных магнитов, струй воды и электрических искр, которые наполняли аудиторию. Однако любимым предметом ученого была клюшка для гольфа. Его страстная увлеченность гольфом привела к написанию работ о траекториях движения мячей для гольфа, или о «вращении сферических снарядов». Сын Тэйта, Фредди, был известным игроком в гольф и дважды выигрывал Британский любительский чемпионат.

Считается, что следующая головоломка пришла к нам из Японии, однако именно Тэйт способствовал ее распространению на Западе.

Ответ

Расположите два вида монет так, как показано ниже на рисунке 1, чередуя разные монеты. Если у вас монеты только одного вида, расположите их поочередно вверх орлом и решкой. Ваша задача – изменить положение восьми монет так, чтобы четыре монеты одного вида находились рядом друг с другом, как показано на рисунке 2.

Каждый шаг сводится к одновременному перемещению двух соседних монет. Вы можете передвигать их на любое место на той же линии, что и другие монеты, но при этом их нельзя менять местами: при перемещении левая монета должна оставаться слева, а правая – справа.

Удастся ли вам решить эту задачу за четыре шага?

Возможно, вы впадете в уныние, если не сможете решить эту головоломку сразу. Но, прошу, проявите упорство, поскольку вы способны найти решение. Для того чтобы вам помочь, предлагаю более простой вариант этой задачи – с шестью монетами. Обратите внимание: в итоге все монеты смещаются влево на два промежутка.

Пока мы не закрыли эту тему, хочу сказать несколько слов о последней задаче в стиле головоломки Тэйта. В ней используются пять монет, но вводится дополнительное условие, согласно которому перемещать можно только две разные монеты за один шаг. На рисунке ниже изображены два ряда монет. Можете ли вы за четыре шага расположить монеты из верхнего ряда так, как показано в нижнем ряду?

Французский математик Эдуард Люка, с которым мы встречались в предыдущей главе ( помните его задачу об океанских лайнерах?), включил две следующие классические головоломки в свою книгу Récréations Mathématiques («Занимательная математика»). Обе относятся к категории чрезвычайно запутанных, но невероятно простых задач.

Ответ

Восемь монет расположены в один ряд, как показано на рисунке ниже. Каждый раз вы можете передвигать монету либо направо, либо налево так, чтобы она, перешагнув через две монеты, попала на третью. Перешагивать можно через две монеты по одной или через стопку из двух монет.

Можете ли вы переместить четыре монеты так, чтобы в конечном счете у вас получилось четыре стопки по две монеты?

Люка называл следующую головоломку jeu des grenouilles – «Игра лягушек». Он предлагал использовать в ней черные и белые пешки, но при отсутствии шахмат подойдут и монеты.

Ответ

Расположите три монеты одного номинала и три монеты другого номинала в ряд, как показано на рисунке ниже, оставив посредине свободное место. (Или выложите три монеты вверх орлом, а три – решкой.) Представьте себе, что слева – три лягушки, а справа – три жабы. Лягушки могут передвигаться только слева направо, а жабы только справа налево. Лягушка или жаба может либо переместиться на один шаг вперед на свободное место, либо перепрыгнуть через одну монету на свободное место, при условии, что она передвигается в правильном направлении.

Можете ли вы переместить всех лягушек на позиции жаб, а жаб на позиции лягушек?

Солитер (или колышковый солитер), пожалуй, самая известная игра для одного игрока, в которой одни предметы «перепрыгивают» через другие. «Мне доставляет огромное удовольствие игра под названием “Солитер”», – писал в 1716 году в одном из своих писем немецкий энциклопедист Готфрид Лейбниц. Вклад Лейбница в математику и философию включает открытие исчисления бесконечно малых величин (независимо от Исаака Ньютона), изобретение арифмометра, а также описание двоичной системы счисления, в которой нули и единицы соответствовали отверстиям и колышкам в его любимой игре. Однако Лейбниц предпочитал играть в нее наоборот: вместо того чтобы перепрыгивать через колышек на свободное место, убирая колышек с поля, он перешагивал пустое место и ставил на нем колышек. «Но зачем все это, спросите вы, – писал он. – Отвечу: чтобы совершенствовать искусство изобретать новое».