Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Таким образом, ответ на вопрос, поставленный в задаче, – второе изображение, на котором у верхнего пятиугольника размытые очертания, а у нижнего четкие. Это возможно в случае, если выдержка фотоаппарата выставлена на достаточно короткое время, чтобы изображение медленно движущегося пятиугольника получилось четким, а быстро движущегося – расплывчатым. Художник, вероятно, сразу бы это понял, поскольку верхнюю часть движущихся колес всегда рисуют размытой.

К тексту

Возможно, вы получили ответ 3 (вариант б) – именно такой ответ экзаменаторы считали правильным.

От учеников они ожидали следующего хода рассуждений. Если радиус круга А равен одной трети радиуса круга В, то длина окружности круга А составляет третью часть длины окружности круга В (так как длина окружности равна произведению 2 π на радиус). Следовательно, в одном периметре круга В можно поместить три периметра круга А. Совершая один полный оборот, круг А проходит одну длину окружности. Таким образом, за три полных оборота он пройдет три длины окружности, что равно периметру круга В.

Ошибку экзаменаторов трудно обнаружить, если вы не изучали особенности перемещения круга вокруг других кругов. По всей вероятности, они тоже не изучали эту тему. Давайте сделаем это сейчас. Возьмите две одинаковые монеты и проведите одну вокруг другой. Длина окружности монет одинаковая, а значит, можно было бы ожидать (как указано в задании теста SAT [40]), что движущаяся монета совершит только один оборот, прежде чем вернется в исходную точку. Тем не менее голова королевы оборачивается дважды ! Когда один круг вращается вокруг другого, необходимо прибавить дополнительное вращение с учетом того факта, что этот круг вращается вокруг себя и вокруг второго круга.

Если бы в тесте SAT спрашивалось, сколько раз круг А обернется вокруг своей оси, перемещаясь вдоль отрезка прямой, длина которого равна длине окружности круга В, то ответ был бы – три раза. Но если круг А перемещается вокруг круга В, то правильный ответ – четыре.

Верного решения не было среди возможных вариантов ответов, и это объясняет, почему почти никто не смог решить эту задачу правильно. Обнаружение ошибки повлекло за собой неприятные последствия для экзаменаторов: история появилась на страницах New York Times и Washington Post.

К тексту

Под листом 1 может находиться только лист, расположенный в левом верхнем углу. А под листом в левом верхнем углу может лежать только лист, расположенный слоем ниже. И так далее по спирали против часовой стрелки.

К тексту

К тексту

Задача становится понятнее, если нарисовать полный круг. Разместите четыре одинаковых полукруга таким образом, чтобы получился большой круг с четырьмя пересекающимися кругами меньшего размера.

Если r – радиус большого круга, то площадь этого круга – πr 2.

Радиус кругов меньшего размера равен половине радиуса большого круга, а значит, площадь каждого малого круга составляет

Превосходно! Площадь малого круга равна четвертой части большого круга, следовательно, площадь четырех малых кругов равна площади большого круга. Эквивалентность площадей чрезвычайно полезна, поскольку на нашем рисунке изображены четыре малых круга.

Малые круги перекрывают друг друга. Чему равна общая площадь четырех пересекающихся кругов? Площади четырех малых кругов ( πr 2) за вычетом площади областей пересечения, то есть площади четырех линз.

1. Площадь пересекающихся кругов = πr 2 – площадь линз.

Мы также видим, что площадь пересекающихся кругов равна площади большого круга ( πr 2) за вычетом площади крыльев.

2. Площадь пересекающихся кругов = πr 2 – площадь крыльев.

Объединив оба уравнения, получим:

πr 2 – площадь линз = πr 2 – площадь крыльев.

Из этого следует, что площадь линз равна площади крыльев. Поскольку есть четыре крыла равного размера и четыре линзы равного размера, площадь одного крыла равна площади одной линзы.

К тексту

Идеальное совмещение кругов друг с другом на рисунке – не только то, что делает изображение столь привлекательным, но еще и ключ к решению головоломки, так как у нас есть возможность сравнивать радиусы кругов.

Обозначим круги в порядке возрастания размера символами A, B, C, D и E, а их радиусы – a, b, c, d и e. Наша задача – выразить d через a.

На первом рисунке я выделил жирным три отрезка. Вертикальный отрезок – это радиус круга D, обозначенного пунктиром, но этот же отрезок соответствует четырем радиусам круга A и трем радиусам круга B. Следовательно, мы можем записать такое уравнение:

[1] d = 4 a + 3 b.

Аналогично два других отрезка, радиусы круга E, также можно выразить через радиусы других кругов:

[2] e = 4 a + 5 b ;

[3] e = b + 2 c.

Хитрость заключается в том, чтобы понять (благодаря изображению ромба на втором рисунке), что:

[4] 4 a + 2 b = b + c.

Мы имеем четыре уравнения с пятью неизвестными. Поскольку нам нужно выразить d через a , избавимся от других членов уравнений.

Во-первых, мы можем исключить e , приравняв выражения [2] и [3]:

4 a + 5 b = b + 2 c.

Следовательно,

4 a + 4 b = 2 c , или

[5] 2 a + 2 b = c.

Подстановка c в уравнение [4] даст такой результат:

4 a + 2 b = b + 2 a +2 b , или

[6] 2 a = b.

А подстановка в уравнение [1] дает:

d = 4 a + 6 a = 10 a.

Это и есть ответ: радиус круга D в десять раз больше радиуса круга A.

К тексту

Я обозначил круги разных размеров символами A, B и C, а их радиусы – a, b и c. Стратегия решения задачи заключается в том, чтобы сначала выразить радиус b через a , а затем c через b , что позволит нам доказать, что с = 2 a.