Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр тоже делится на 3. Это верно и наоборот: если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. Следовательно, a + b + c делится на 3.

Любое число, кратное 6, делится на 3, поэтому a + b + c + d + e + f также делится на 3.

Если два числа делятся на 3, то разность между б о льшим и меньшим числом тоже делится на 3.

Таким образом, число a + b + c + d + e + f – ( a + b + c ) = d + e + f делится на 3.

Мы знаем, что d – это либо 2, либо 6; и нам известно, что e = 5, а также что f – это 2, 4, 6 или 8.

Если d – это 2, то число 2 + 5 + f должно быть кратным 3. Следовательно, f должно иметь значение 8. (Это не может быть 2, поскольку d – это 2, а каждая цифра встречается в искомом числе только один раз. И это не может быть 4 или 6, так как числа 11 и 13 не делятся на 3.)

Если d – это 6, то число 6 + 5 + f должно быть кратным 3, а, согласно ходу наших рассуждений, f должно иметь значение 4.

Таким образом, у нас есть два возможных варианта для трех средних цифр: def – это либо 258, либо 654. Проверим каждый из них.

[1] def – это 258.

Согласно признаку делимости на 8, если восьмизначное число abcdefgh делится на 8, то трехзначное число fgh тоже делится на 8. Следовательно, 8 gh делится на 8.

В качестве g может выступать 1, 3, 7 или 9, а в качестве h – одна из оставшихся двух цифр, 4 или 6. Число 8 g 4 не делится на 8 при любом значении g , а значит, это должно быть 6. Мы уже использовали цифры 2, 6 и 8, в таком случае b , последняя четная цифра, – это 4.

Теперь искомое число выглядит так: a 4 c 258 g 6 i 0.

Любое число, кратное 9, также должно делиться на 3. Следовательно, a + 4 + c + 2 + 5 + 8 + g + 6 + i делится на 3. Поскольку любое число, кратное 6, делится и на 3, a + 4 + c + 2 + 5 + 8 тоже делится на 3. Как мы определили, если два числа делятся на 3, разность между б о льшим и меньшим числом тоже должна делиться на 3. Стало быть, g + 6 + i должно быть кратным 3.

Итак, g + i должно быть кратным 3. Мы должны выбрать значения g и i из 1, 3, 7 и 9, а значит, g и i – это либо 3, либо 9. Следовательно, a и c – это либо 1, либо 7. Таким образом, у нас есть четыре возможных варианта искомого числа при таких значениях a, c, g и i :

1, 7, 3, 9 (при таких значениях искомое число – 1 472 583 690);

7, 1, 3, 9 (при таких значениях искомое число – 7 412 583 690);

1, 7, 9, 3 (при таких значениях искомое число – 1 472 589 630);

7, 1, 9, 3 (при таких значениях искомое число – 7 412 589 630).

Возьмите калькулятор и проверьте, соответствуют ли эти числа условиям, сформулированным в задаче.

Число 1 472 583 690 не подходит, потому что 14 725 836 не делится на 8.

Число 7 412 583 690 не подходит, потому что 7 412 583 не делится на 7.

Число 1 472 589 630 не подходит, потому что 1 472 589 не делится на 7.

Число 7 412 589 630 не подходит, потому что 7 412 589 не делится на 7.

Мы зашли в тупик. Этот вариант не верен, и мы можем сделать вывод, что def – это не 258.

[2] def – это 654.

Согласно признаку делимости на 8, если восьмизначное число abcdefgh делится на 8, то трехзначное число fgh также делится на 8. Следовательно, 4 gh делится на 8.

Поскольку 4 gh = 400 + gh , а число 400 кратное 8, gh кратно 8.

В качестве g может выступать 1, 3, 7 или 9, а в качестве h – одна из оставшихся двух цифр – 2 или 8. Число gh не делится на 8, если h – это 8, а значит, h должно иметь значение 2. Следовательно, b должно иметь значение 8.

Теперь искомое число выглядит так: a 8 c 654 g 2 i 0.

Любое число, кратное 9, делится на 3. Таким образом, a + 8 + c + 6 + 5 + 4 + g + 6 + i делится на 3, а, согласно ходу наших рассуждений, нам известно, что g + 2 + i должно быть кратным 3, где i и g могут иметь одно из значений 1, 3, 7 или 9.

Таким образом, значения g и i должны представлять собой один из следующих вариантов:

1 и 3

3 и 1

1 и 9

9 и 1

3 и 7

7 и 3

7 и 9

9 и 7

Рассмотрим все эти варианты и с помощью калькулятора проверим, соответствуют ли они условиям задачи.

Сначала рассмотрим числа 1 и 3.

Число 7 896 541 230 не подходит, потому что 7 896 541 не делится на 7.

Число 9 876 541 230 не подходит, потому что 9 876 541 не делится на 7.

Рассмотрим числа 3 и 1.

Число 7 896 543 210 не подходит, потому что 7 896 543 не делится на 7.

Число 9 876 543 210 не подходит, потому что 9 876 543 не делится на 7.

Далее рассмотрим числа 1 и 9.

Число 7 836 541 290 не подходит, потому что 7 836 541 не делится на 7.

Число 3 876 541 290 не подходит, потому что 3 876 541 не делится на 7.

Рассмотрим числа 9 и 1.

Число 7 836 549 210 не подходит, потому что 783 654 не делится на 6.

Число 3 876 549 210 не подходит, потому что 3 876 549 не делится на 7.

Рассмотрим числа 3 и 7.

Число 1 896 543 270 не подходит, потому что 1 896 543 не делится на 7.

Число 9 816 543 270 не подходит, потому что 9 816 543 не делится на 7.

Рассмотрим числа 7 и 3.

Число 1 896 547 230 не подходит, потому что 1 896 547 не делится на 7.

Число 9 816 547 230 не подходит, потому что 9 816 547 не делится на 7.

Рассмотрим числа 7 и 9.

Число 1 836 547 290 не подходит, потому что 1 836 547 не делится на 7.

Число 3 816 547 290 подходит.

Рассмотрим числа 9 и 7.

Число 1 836 549 270 не подходит, потому что 1 836 549 не делится на 7.

Число 3 816 549 270 не подходит, потому что 3 816 549 не делится на 7.

Наконец-то мы нашли ответ. Искомое число – 3 816 547 290.

К тексту

Мы пытаемся найти такие значения a, b, c и d , при которых

abcd × 4 = dcba.

Член уравнения abcd – не a × b × c × d ; это означает, что цифра a находится в разряде тысяч, b в разряде сотен, c в разряде десятков и d в разряде единиц. Таким образом, представленное выше уравнение можно записать в таком виде:

(1000 a + 100 b + 10 c + d ) × 4 = 1000 d + 100 c + 10 b + a.

Теперь нам предстоит найти правильные способы упрощения и решения этого уравнения.

Шаг 1. Определяем значение a.

Значение левой стороны уравнения четное, поскольку имеет множитель 4; следовательно, его правая сторона тоже должна быть четной. Левая сторона уравнения устанавливает предел значения a , поскольку 4000 a должно быть меньше 9999. (Если бы оно было больше 9999, в правой части уравнения было бы пятизначное число.) Единственное четное число, соответствующее этим условиям, – 2, поэтому a = 2.

Шаг 2. Определяем значение b.

Поскольку a = 2, левая сторона уравнения – это минимум 8000, а значит, значение d либо 8, либо 9. Однако если бы d = 9, в разряде единиц в левой части уравнения была бы цифра 6, так как 9 × 6 = 36. Но в разряде единиц должна быть цифра 2, потому что a = 2 правой части уравнения. Следовательно, d = 8.