Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

В итоге (16 + 2,4) квинтиллиона = 18,4 квинтиллиона.

Весьма неплохо по сравнению с точным ответом:

18 446 744 073 709 551 616.

К тексту

Итак, что означают ноли в конце числа? Все довольно просто. Число, которое оканчивается на 0, делится на 10. Число, которое оканчивается на 00, делится на 100, или 10 × 10. Число, которое оканчивается на 000, делится на 1000, что равно 10 × 10 × 10. Другими словами, ноли в конце числа говорят о том, сколько раз это число делится на 10. Следовательно, вопрос в том, сколько раз 100! можно разделить на 10.

Мы знаем, что

100! = 100 × 99 × 98 × 97 × 96 × … × 3 × 2 × 1.

Проанализируем члены этого уравнения и определим, какие из них кратны 10.

На 10 можно разделить 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100, значит, в конце числа 100! должно быть минимум 11 нолей (с учетом того, что у 100 два ноля).

Однако не все так просто. Существует возможность умножить два числа, не заканчивающиеся на 0, и получить число, которое оканчивается на 0. Это такие числа, как:

8 × 5 = 40

4 × 15 = 60

6 × 25 = 150

Но как нам найти в числе 100! все ноли, полученные в результате умножения чисел, не оканчивающихся на 0? Давайте проанализируем разложение этих чисел более внимательно.

8 × 5 = (2 × 2 × 2) × 5

Это равенство можно преобразовать так:

(2 × 2) × (2 × 5) = 4 × 10.

Аналогичным образом:

4 × 15 = (2 × 2) × (3 × 5) = (2 × 3) × (2 × 5) = 6 × 10

6 × 25 = (3 × 2) × (5 × 5) = (3 × 5) × (2 × 5) = 15 × 10.

При умножении двух чисел, которые не оканчиваются на ноль, и получении числа с окончанием 0 в мультипликативном разложении этих чисел должны присутствовать числа 2 и 5. Это объясняется тем, что каждый раз, когда 2 и 5 встречаются в цепочке чисел при умножении, их можно объединить, чтобы получить 10.

Таким образом, головоломка решается путем нахождения пар чисел 2 и 5 в мультипликативном разложении числа 100!.

И мы даже можем выполнить дальнейшее упрощение: собственно, мы ищем, сколько раз 100! делится на 5, поскольку очевидно, что 100! делится на 2 гораздо больше раз, чем на 5, а значит, количество пар чисел 2 и 5 равно количеству чисел 5.

Сколько раз числа от 1 до 100 делятся на 5? На 5 делятся следующие числа:

5, 10, 15, 20, 25, …, 90, 95, 100

Каждый из этих двадцати членов делится на 5 только один раз, за исключением 25, 50, 75 и 100, которые делятся на 5 дважды. Следовательно, 100! делится на 5 всего 24 раза.

Это и есть ответ. В конце числа 100! находится 24 ноля.

Если захотите проверить сами, вот это число полностью: 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

К тексту

Ниже приведены ссылки на книги, из которых я позаимствовал или адаптировал головоломки, представленные в данном сборнике. Зачастую эти книги не являются первоисточником. В некоторых ссылках указаны мои собственные книги. Звездочкой (*) обозначены случаи оригинальной формулировки вопроса – или ее перевод.

Было сделано все возможное, чтобы связаться с владельцами авторских прав. Все вопросы по этому поводу следует направлять издателю.

Помимо перечисленных ниже книг я использовал следующие замечательные источники: Дэвид Сингмастер, Sources in Recreational Mathematics («Занимательная математика: источники») – эта работа не была опубликована, но ее можно найти в интернете; сайт Александра Богомольного www.cut-the-knot.org, а также архив истории математики Мактьютор (MacTutor History of Mathematics Archive) при Сент-Эндрюсском университете. За все это я глубоко признателен.

Числовое дерево: Nobuyuki Yoshigahara. Puzzles 101, A K Peters/CRC Press (2003).

Марсианские каналы: Sam Loyd. Martin Gardner (ed.), Mathematical Puzzles of Sam Loyd, Dover Publications Inc. (2000).

Все задачи взяты у © United Kingdom Mathematics Trust.

1. Волк, коза и капуста: Alcuin, Propositiones ad Acuendos Juvenes (9th century).

2. * Трое мужчин и их сестры: Alcuin, Propositiones ad Acuendos Juvenes (9th century).

3. Переход через мост: William Poundstone, How Would You Move Mount Fuji? Little Brown and Co. (2003). ( Паундстоун У. Как сдвинуть гору Фудзи? Подходы ведущих мировых компаний к поиску талантов. М.: Альпина Паблишер, 2008.)

4. * Двойное свидание: Alcuin, Propositiones ad Acuendos Juvenes (9th century).

5. * Званый ужин: Lewis Carroll, A Tangled Tale, Macmillan and Co. (1885). ( Кэрролл Л. Истории с узелками. М.: АСТ, 2001.)

6. Лгуньи: описание задачи Льюиса Кэрролла приведено в книге Martin Gardner, The Universe in a Handkerchief, Copernicus (1996).

7. Смит, Джонс и Робинсон: Henry Ernest Dudeney, Strand Magazine (April 1930).

8. * Школа святого Дандерхеда: Hubert Phillips, S. T. Shovelton, G. Struan Marshall, Caliban’s Problem Book, T. De La Rue (1933).

9. * Случай родства: Hubert Phillips, S. T. Shovelton, G. Struan Marshall, Caliban’s Problem Book, T. De La Rue (1933).

10. Задача о зебре: Life International (17 December 1962).

11. * Завещание Калибана: Hubert Phillips, S. T. Shovelton, G. Struan Marshall, Caliban’s Problem Book, T. De La Rue (1933).

12. Трехсторонняя перестрелка: Hubert Phillips, Question Time, J. M. Dent (1937).

13. Яблоки и апельсины: William Poundstone, How Would You Move Mount Fuji? Little Brown and Co. (2003). ( Паундстоун У. Как сдвинуть гору Фудзи? Подходы ведущих мировых компаний к поиску талантов. М.: Альпина Паблишер, 2008.)

14. Соль, перец и приправа: по материалам книги Martin Gardner, My Best Mathematical and Logic Puzzles, Dover Publications (1994).

15. Камень, ножницы, бумага: Yoshinao Katagiri in Nobuyuki Yoshigahara, Puzzles 101, A K Peters/CRC Press (2003).

16. Клуб грязнуль: Hubert Phillips, Week-End; взято из: Hans van Ditmarsch, Barteld Kooi, One Hundred Prisoners and a Light Bulb, Springer (2015).

17. Лицо в саже: Гамов Г., Стерн М. Занимательные задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2003.

18. 40 неверных мужей: Стерн М. Занимательные задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2003.

19. Коробка со шляпами: Kobon Fujimura, The Tokyo Puzzles, Biddles Ltd (1978).

20. Последовательные числа: Hans van Ditmarsch, Barteld Kooi, One Hundred Prisoners and a Light Bulb, Copernicus (2015), основано на книге: J. E. Littlewood, A Mathematician’s Miscellany, Methuen and Co. Ltd (1953).

21. День рождения Шерил: Джозеф Йоу Бун Вуй, Singapore and Asian Schools Math Olympiads.

22. День рождения Дениз: Джозеф Йоу Бун Вуй, theguardian.com.

23. Возраст детей: автор неизвестен.

24. * Математики в автобусе: John Hhorton Conway, Tanya Khovanova, ‘Conway’s Wizards’, The Mathematical Intelligencer, vol. 35 (2013).

25. Игра с гласными: Уэйсон П. , «Задача выбора Уэйсона», «Википедия» (Peter Wason, ‘Wason selection task’, Wikipedia).

Задачи 1, 4 и 9 придуманы редактором перевода по мотивам задач оригинальной книги.

Остальные задачи взяты с сайтов:

http://www.treningmozga.com

http://2yxa.ru/golovolomka

http://detichaik.ru/nikitkina-stranica/golovolomki-s-bukvami-a.html

http://www.smekalka.pp.ru

1. Только линейка: The Grabarchuk Family, The Big, Big, Big Book of Brainteasers, Puzzlewright (2011).

2. Веревка, натянутая вокруг Земли: автор неизвестен.

3. Гирлянда из флажков для уличного праздника: на основании беседы с Колином Райтом.

4. На велосипед, Шерлок! Joseph D. E. Konhauser, Dan Velleman, Stan Wagon, Which Way Did the Bicycle Go? The Mathematical Association of America (1997).