Алекс Беллос - Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Подставим эти значения в исходное уравнение:

(2000 + 100 b + 10 c +8) × 4 = 8000 + 100 c + 10 b + 2.

Это уравнение можно привести к такому виду:

8032 + 400 b + 40 c = 8002 + 100 c + 10 b.

А затем к такому

390 b + 30 = 60 c.

И далее

13 b + 1 = 2 c.

Не забывайте, что b и c – это отдельные цифры. Максимально возможное значение c = 9, а это значит, что максимально возможное значение 2 c = 18. Таким образом, b может иметь только значение 1. А если b = 1, то c = 7.

Следовательно, ответ – 2178, так как 2178 × 4 = 8712.

К тексту

Мы ищем такое число, при умножении которого на 2 последняя цифра произведения была бы первой цифрой полученного результата. Фримен Дайсон любезно сообщил нам о том, что минимальное число с таким свойством состоит из 18 цифр, поэтому обозначим его как nnnnnnnnnnnnnnnnnn R , где каждая n – это цифра, а n R – крайняя справа цифра.

Мы знаем, что

Найдем цифру для n R. Мы не можем взять 0, иначе ответ содержал бы всего 17 цифр, что делает умножение невозможным. Мы также не можем выбрать 1, потому что тогда ответ начинался бы с 1, что тоже невозможно: половина 18-значного числа, начинающегося с 1, – это 17-значное число, что противоречит условию задачи (исходное число состоит из 18 цифр). Возьмем 2.

И наше произведение становится таким:

Это уравнение можно решить, определяя значения n. Поскольку 2 × 2 = 4, последней цифрой нижнего числа будет 4.

Нижнее число состоит из тех же цифр и в том же порядке, что и верхнее, за исключением того, что последняя цифра верхнего числа – первая цифра нижнего числа. Из этого следует, что первая цифра нижнего числа – это предпоследняя цифра верхнего числа. Таким образом, предпоследняя цифра верхнего числа – 4.

Поскольку 4 × 2 = 8, предпоследней цифрой нижнего числа, а значит, и третьей от конца цифрой верхнего числа должна быть цифра 8.

До сих пор мы выполняли только операцию умножения на два. Наше следующее значение – 8 × 2 = 16, поэтому на следующей позиции (третья цифра с конца нижнего числа и четвертая цифра с конца верхнего числа) должна быть цифра 6, но поскольку она взята из числа 16, то мы должны перенести 1.

Для следующего значения n у нас есть 6 × 2 = 12, но есть еще и перенос 1, что в сумме дает 13. Таким образом, на следующей позиции (четвертая от конца цифра нижнего числа и пятая от конца цифра верхнего числа) находится цифра 3, снова с переносом 1.

Продолжив умножение для нахождения обоих чисел, в итоге получим:

Итак, мы получили нужный ответ: произведение числа 105 263 157 894 736 842 на два представляет собой то же число, в котором последняя цифра становится первой.

Если бы мы решили выстроить число, заканчивающееся на 3, у нас получилось бы число 157 894 736 842 105 263, произведение которого на два дает 315 789 473 684 210 526, что также является правильным решением. Цифры, выделенные жирным шрифтом, показывают, что данное число содержит последовательность цифр, которая входит в состав числа из предыдущего абзаца. Аналогичным образом можно сгенерировать числа, которые заканчиваются на 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

К тексту

Надеюсь, вы не пытались вычислить все эти числа, а если пытались, то наверняка заметили закономерность: последняя цифра девятой степени любого числа – это последняя цифра исходного числа.

Следовательно, в порядке возрастания эти числа будут заканчиваться на …067 1(= 31 9), …883 2(=32 9), …195 3(= 33 9), …646 4(= 34 9), …187 5(= 35 9), …841 6(= 36 9), …507 7(= 37 9), …284 8(= 38 9), …875 9(= 39 9).

В представленной ниже таблице показано, что происходит с последней цифрой числа в случае его возведения в различные степени.

Как показывает эта таблица, последняя цифра девятой степени любого числа совпадает с последней цифрой исходного числа, но то же самое происходит и с пятой степенью.

В действительности таким свойством, как совпадение последней цифры степени числа с последней цифрой самого числа, обладают пятая, девятая, тринадцатая степени и т. д., то есть каждая четвертая степень более высокого порядка.

К тексту

Число 2 64 – это 2, умноженное само на себя 64 раза. Кроме того, это 64-й член последовательности удваивающихся чисел, которая начинается с 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…

Пока все понятно. Мы могли бы вычислить еще 54 члена этой последовательности, но это было бы слишком скучно и, кроме того, мы неизбежно допустили бы ошибки. Нам требуется способ найти приблизительный ответ, не делая слишком много вычислений.

Начнем. Десятый член, или 2 10 = 1024. Или примерно 1000 – красивое круглое число.

Если тысяча – это примерно 2 10, значит, тысяча, умноженная на себя шесть раз, или 1000 6 – это примерно 2 10, умноженное на себя шесть раз, что равно (2 10) 6 = 2 60.

1000 6 = 1000000000000000000, или квинтиллион.

Следовательно, 2 60примерно равно квинтиллиону.

Мы знаем, сто 2 4 = 16.

Поэтому 2 64 = 260 × 24, что примерно равно 16 квинтиллионам.

Шестнадцать квинтиллионов – неплохой ответ, но мы можем получить более точный, сделав поправку на ошибку округления.

Мы округлили 1024 до 1000. Но число 1024 на 2,4 процента больше 1000. Каждый раз при умножении тысячи на саму себя нам следовало прибавлять дополнительных 2,4 процента. Поскольку мы умножили тысячу на себя шесть раз, нужно добавить 2,4 процента шесть раз, что в сумме составляет около 15 процентов. И более точный ответ = 16 квинтиллионов + 15 процентов.

Мы можем вычислить 15 процентов от 16 квинтиллионов в уме. Десять процентов – это 1,6 квинтиллиона, а пять процентов – половина этой величины, или 0,8 квинтиллиона. Следовательно, 15 процентов составляют 2,4 квинтиллиона.