Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Как я уже пытался разъяснить, основная теорема не полностью решает задачу площади. Она предоставляет информацию о скорости ее изменения, но саму площадь нам еще нужно получить.

Языком символов основная теорема сообщает нам, что dA / dx = y , где y ( x ) – имеющаяся у нас функция. Однако нам по-прежнему нужно найти A ( x ), удовлетворяющее этому уравнению. Погодите минутку! Это же означает, что мы внезапно снова столкнулись с обратной задачей ! Вот так поворот! Мы пытались решить задачу площади, центральную задачу номер 3 в списке из главы 6, и вдруг столкнулись с обратной задачей, центральной задачей номер 2 в том же списке. Я называю ее обратной задачей, потому что, как показывает диаграмма выше, поиск A по y означает движение против стрелки, движение назад относительно производной. В этом случае детская игра может выглядеть примерно так: «Я задумал функцию площади A ( x ), производная которой равна 12 x + x 10 – sin x . Какую функцию я задумал?»

Разработка метода решения обратной задачи – не только для 12 x + x 10 – sin x , но и для произвольной кривой y ( x ) – стала святым Граалем для анализа. Точнее, святым Граалем для интегрального исчисления. Решение обратной задачи позволило бы раз и навсегда закрыть тему нахождения площади. Имея y ( x ), мы бы знали площадь A ( x ) под ней. Решив обратную задачу, мы бы также решили задачу площади. Именно это я имел в виду, когда говорил, что эти две задачи – близнецы, разлученные при рождении. Это две стороны одной медали.

Решение обратной задачи имеет гораздо более серьезные последствия по следующей причине: с точки зрения Архимеда, площадь – это бесконечная сумма бесконечно малых прямоугольных полос, а значит, в этом смысле площадь интеграл. Это объединенная (интегрированная) совокупность всех сложенных вместе кусочков, накопление бесконечно малых изменений. И так же как производные оказались важнее наклонов, интегралы оказались важнее площадей. Площади необходимы для геометрии, интегралы – для всего , в чем мы убедимся в следующих главах.

Один из способов подойти к сложной обратной задаче – игнорировать ее. Отложите ее в сторону. Замените более простой прямой задачей (для данной функции A ( x ) вычислите ее скорость изменения dA / dx ; согласно основной теореме, это должно равняться величине y , которую мы ищем). Прямая задача намного проще, потому что мы знаем, с чего начать. Мы можем начать с известной функции площади A ( x ), а затем узнать скорость ее изменения с помощью стандартных формул для производных. Получившаяся скорость изменения dA / dx далее должна играть роль парной функции y , как нас убеждает основная теорема: dA / dx = y . Сделав это, мы получим пару партнерских функций, A ( x ) и y ( x ), которые представляют функцию площади и соответствующую кривую. Есть надежда, что если нам посчастливится наткнуться на какую-то задачу, где нужно найти площадь под этой конкретной кривой y ( x ), то соответствующей функцией площади будет как раз A ( x ). Это не системный подход, и он срабатывает только в случае, если нам повезет, но, по крайней мере, он прост и у нас есть с чего начать. Чтобы повысить шансы на успех, мы можем создать огромную справочную таблицу с сотнями функций площадей и их соответствующими кривыми, то есть с множеством пар ( A ( x ), y ( x )). Тогда размеры и разнообразие такой таблицы повысят наши шансы наткнуться на пару, которая подходит для решения интересующей нас задачи. И как только мы найдем эту пару, нам больше ничего не нужно делать – ответ будет прямо в таблице.

Например, в следующей главе мы увидим, что производная x 3равна 3 x 2. Мы получим этот результат, решив прямую задачу, просто взяв производную. Однако самое замечательное – что это говорит нам о том, что x 3может играть роль A ( x ), а 3 x 2 – роль y ( x ). Не вспотев, мы решили задачу площади для x (если нам когда-нибудь понадобится именно она). Продолжая в том же духе, мы можем заполнить таблицу и другими степенями 3 x 2. Аналогичные вычисления покажут, что производная x 4равна 4 x 3, производная x 5равна 5 x 4и в целом производная x n равна nx n-1 . Все это простые решения прямой задачи для степенных функций. Поэтому столбцы в нашей таблице будут выглядеть примерно так:

В своей тетради 22-летний Исаак Ньютон составил для себя похожую таблицу [204].

Воспроизведено с любезного разрешения уполномоченных лиц библиотеки Кембриджского университета. MS-ADD-04000–000–00259.tif (MS Add. 4000, page 124r).

Обратите внимание, что его язык несколько отличался от нашего. Кривые в левом столбце – это «Уравнения, выражающие природу линий y ». Их функции площади – это «их квадратуры» (поскольку он рассматривал задачу нахождения площади как квадрирование кривых). Он также ощущал необходимость вставлять различные степени a , произвольной единицы длины, чтобы все величины имели правильную размерность. Например, его нижняя правая величина A ( x ) в пятой строке сверху – это x 7 / a 5(а не просто x 7, как у нас сейчас), потому что в его представлении эта величина отображает площадь, а потому должна иметь размерность площади (длину в квадрате). Все это размещено через несколько страниц после «Метода квадрирования тех кривых, которые можно квадрировать» – объявления о рождении основной теоремы анализа. Вооруженный этой теоремой, Ньютон заполнил еще много страничек списком «кривых» и их «квадратур». В руках Ньютона машина анализа включилась и заработала.

Следующей задачей – на самом деле фантазией – стал поиск метода квадрировать любую кривую, а не только степенные функции. Возможно, из-за общих слов это не выглядит особо блестящей фантазией. Поэтому позвольте мне сформулировать так: эта задача содержит в себе суть всего, что делает сложным интегральное исчисление. Если бы она была решена, это запустило бы цепную реакцию вроде толкания костяшек домино: одна задача рушилась бы за другой. Ее решение можно было бы использовать для ответа на вопрос, который, по мнению Декарта, находится вне человеческого понимания, – поиска длины дуги произвольной кривой. Можно было бы найти площадь любой фигуры на плоскости – даже похожей по форме на амёбу. Можно было бы вычислить площадь поверхности, объем и положение центра тяжести сфер, параболоидов, урн, бочек и других поверхностей, которые получаются путем вращения кривой вокруг оси, подобно вазе на гончарном круге. Одним махом решились бы классические задачи о криволинейных формах, над которыми размышлял Архимед и другие великие математические умы в течение восемнадцати столетий.