Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Это позволило бы справиться не только с этими, но и с другими задачами. Решение такой задачи сделало бы возможным прогнозирование положения двигающихся объектов – например, где окажется планета в определенной точке своей орбиты, даже если планета подвергается какой-то другой силе притяжения, отличной от действующей в нашей Вселенной. Вот что я имею в виду, называя эту задачу святым Граалем, заветной мечтой интегрального исчисления. Ее решение привело бы к устранению множества других проблем.

Вот почему так важно умение находить площадь под произвольной кривой. Из-за своей тесной связи с обратной задачей задача площади касается не только площадей. Она относится не только к формам, соотношениям между расстоянием и скоростью или таким же узким вещам. Это совершенно общая вещь. С современной точки зрения задача площади относится к прогнозированию взаимоотношений между всем, что меняется с переменной скоростью, и накапливающимся во времени результатом таких изменений. Это переменный приход денег на банковский счет и накопленная сумма на нем. Это темпы роста мирового населения и общая численность людей на планете. Это изменение концентрации химиотерапевтического препарата в крови пациента и накопленное воздействие этого препарата со временем. Это влияет на то, насколько эффективной или токсичной будет химиотерапия. Площадь важна, потому что важно будущее.

Новая математика Ньютона идеально подходила для меняющегося мира. Соответственно, он и образовал новые термины от слова flux – поток, движение. Сами меняющиеся во времени величины он назвал флюэнтами , а их производные по времени – флюксиями. Он определил две основные задачи.

1. Даны флюэнты, как найти их флюксии?

2. Это эквивалентно упомянутой ранее прямой задаче – легкой задаче нахождения наклона кривой или, в более общем виде, нахождению скорости изменения или производной для известной функции. Такая процедура сегодня называется дифференцированием .

3. Даны флюксии, как найти их флюэнты?

4. Это эквивалентно обратной задаче и представляет собой ключ к решению задачи площади. Это сложная задача нахождения кривой по ее наклону или, в более общем виде, нахождения неизвестной функции по скорости ее изменений (по ее производной). Такая процедура сегодня известна как интегрирование .

Вторая задача намного сложнее первой. Кроме того, она гораздо важнее для прогнозирования будущего и проникновения в код Вселенной. Прежде чем мы посмотрим, как далеко удалось зайти Ньютону, я попробую объяснить, почему она так сложна.

Причина, по которой интегрирование намного сложнее дифференцирования, связана с различием между локальным и глобальным. Локальные задачи простые, глобальные – сложные.

Дифференцирование – это локальная операция. Как мы уже видели, когда вычисляем производную, это похоже на вид под микроскопом. Мы увеличиваем участок кривой или функции в поле зрения. По мере увеличения на этом участке кривая становится все менее и менее изогнутой. Мы видим ее масштабированную версию – крохотный наклонный пандус-скат с приращением по вертикали Δ y и Δ x по горизонтали. При бесконечном увеличении в пределе получается некоторая прямая линия, касательная к точке, находящейся в центре поля зрения нашего микроскопа. Угловой коэффициент этой касательной дает нам производную в данной точке. Роль микроскопа – помочь нам сосредоточиться на той части кривой, которая нас интересует. Все остальное игнорируется. В этом смысле поиск производной – локальная операция. Она отбрасывает все детали за пределами бесконечно малой окрестности одной интересующей нас точки.

Интегрирование – это глобальная операция. Вместо микроскопа мы используем телескоп. Мы пытаемся вглядеться вдаль – или далеко вперед, хотя в этом случае нам нужен хрустальный шар. Естественно, такие задачи гораздо сложнее. Все мешающие события имеют значение и не могут быть отброшены. По крайней мере, так кажется.

Позвольте провести аналогию, позволяющую выявить различия между локальным и глобальным, между дифференцированием и интегрированием и прояснить, почему интегрирование так трудно и так важно с научной точки зрения. Эта аналогия возвращает нас в Пекин к рекордному забегу Усэйна Болта. Вспомните, что для определения его скорости в каждый момент времени мы подбирали гладкую кривую, соответствующую данным о его местоположении на дорожке в зависимости от времени. Затем, чтобы найти его скорость, скажем в момент 7,2 секунды, мы использовали подобранную кривую для оценки его положения через малое время после этого момента, например в 7,25, а затем смотрели на изменение расстояния, деленное на изменение времени, и получали оценку скорости в этот момент. Все это были локальные вычисления. Единственная информация, которая использовалась, – это то, как спринтер двигался в течение нескольких сотых долей секунды в окрестности нужного момента. Все, что он делал в оставшуюся часть гонки – до и после этой окрестности, – не имело никакого значения. Вот что я имею в виду под локальностью.

Напротив, представьте, что бы произошло, если бы нам вручили бесконечно длинную таблицу с указанием скорости Болта в каждый момент времени и попросили вычислить, где он будет через 7,2 секунды после старта. Когда он срывался с колодок, мы могли бы использовать его первоначальную скорость для оценки места, где он оказался, скажем, через сотую долю секунды, умножив стартовую скорость на этот промежуток времени. Зная новое положение бегуна и скорость, мы могли бы снова оценить, где он окажется через следующую сотую долю секунды. И так, шаг за шагом, подключая информацию о скорости, соответствующую очередной сотой доле секунды, мы могли бы и далее в течение всего забега обновлять местоположение спринтера. Это тяжелая работа – с точки зрения расчетов. Именно она и делает глобальные вычисления такими сложными. Нам нужно рассчитать каждый шажок, чтобы получить желаемый ответ для далекого будущего, в нашем случае – для момента времени 7,2 секунды после выстрела стартового пистолета.

А теперь представьте, насколько было бы полезно, если бы мы каким-то образом смогли перемотать события вперед и запрыгнуть прямо к интересующему нас моменту! Именно это обеспечивало решение обратной задачи интегрирования. Это дало бы нам кратчайший путь, червоточину во времени и преобразовало бы глобальную задачу в локальную. Вот почему решение обратной задачи похоже на поиск святого Грааля для анализа.

И впервые эта задача, как и многие другие, была решена студентом.

Исаак Ньютон родился в каменном фермерском доме на Рождество 1642 года [205]. Кроме даты, в его рождении не было ничего благоприятного. Он родился недоношенным и таким крохотным, что, как якобы выразилась его мать, мог поместиться в пивную кружку. У него не было отца: старший Исаак Ньютон, фермер-йомен [206], умер тремя месяцами ранее, оставив после себя ячмень, мебель и несколько овец [207].