Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Итак, теперь мы имеем восстановленное авторское доказательство самой знаменитой теоремы Ферма. В нём есть интересные идеи, но в то же время нет ничего такого, что для науки могло быть недоступно в течение более трёхсот лет. Также и с точки зрения трудности понимания его сути оно тянет от силы на 8-й класс средней школы. Несомненно и то, что ВТФ является очень важной составной частью теории чисел. Однако нет никаких видимых причин тому, чтобы эта задача на века стала неразрешимой проблемой, даже несмотря на то, что в поисках её решения приняли участие миллионы профессиональных учёных и любителей. Только и остаётся теперь сокрушаться – вот ведь какой он, этот нечестивый!

После того как с восстановлением доказательства ВТФ всё завершилось так благополучно, многие будут разочарованы, т.к. теперь сказке конец, тема закрыта и ничего здесь интересного не осталось. Но так было раньше, когда в арифметике были только ребусы, а мы-то знаем, что это не так, поэтому для нас сказка не только не закончилась, а даже ещё и не началась! Ведь мы пока раскрыли секрет только двух записей Ферма из шести, восстановленных нами в начале нашего исследования. Чтобы это стало возможно, мы совершили остросюжетный исторический экскурс, в котором ВТФ была путеводителем экстра класса. Это путешествие подвигло нас задействовать наши возможности и заглянуть в эти запретные «еретические письмена» Ферма, чтобы сделать, наконец-то, истинную науку в лице самой фундаментальной дисциплины арифметики, доступной для нашей разумной цивилизации и позволяющей ей на этом сверхпрочном фундаменте развиваться и процветать так, как никогда прежде.

Мы можем честно признаться, что пока ещё не всё, что находится в тайнике Ферма, доступно и понятно для нас. Более того, мы не можем даже определить, где находится это место. Но и заявлять, что всё, что мы здесь рассказываем – это только наше, было бы явно несправедливо и нечестно. Да нам просто бы никто тогда и не поверил. С другой стороны, если бы всё было так просто, то это было бы совсем никому и не интересно. Самое плохое, что можно было бы сделать – это раскрыть всё содержание тайника Ферма, чтобы о нём все забыли сразу после прочтения.

Мы поступим по-другому. Если что-то и будет раскрыто, то лишь для того, чтобы дать возможность узнать о ещё более сокровенных тайнах науки, которые не просто сделают всех умнее, а укажут лучшие способы решения насущных проблем. На примере решения проблемы ВТФ в этом будет совсем нетрудно убедиться, поскольку именно с её решением наука получает такую надёжную точку опоры, что сможет выполнять с целыми степенями всё, что пожелает. В частности, она запросто вычислит сколько угодно таких целых степеней, которые в сумме или в разности опять-таки дадут целую степень. То, что сейчас такую работу может перелопачивать только компьютер, для современной науки очень стыдно, ведь эта задачка слишком проста даже для детей.

Наиболее смышлёные из них явно предпочтут, чтобы взрослые попросили их разъяснить что-то более трудное, например, доказательство ВТФ, которое в их времена было совершенно им недоступно. Дети, естественно, не преминут поозорничать и будут важничать как великосветские вельможи, при ответах на глупые вопросы взрослых поучая и указывая им, что кое кому не мешало бы ещё кое чему и подучиться. Но это будут ещё только цветочки. А вот дальше изумление взрослых станет просто неописуемым, когда они узнáют, что дети повадились подсматривать и списывать всё, что их интересует прямо из тайника Ферма! Ведь в их-то возрасте они ещё не осознают своих возможностей и им кажется, что это совсем нетрудное дело.

Впрочем, если бы они не читали интересные книжки про науку, то такая идея им бы и в голову не пришла. Но когда они узнáют, что кто-то так делает, то обнаружат, что у них это получается совсем не хуже, если даже не лучше! Не верите? Ну что же, всем желающим убедиться в этом такая возможность сейчас представится. Правда, остаётся ещё одна маленькая деталь. Ферма в своих «еретических письменах», хоть и указал, что три простенькие теоремы для детей, которые он специально для них и подготовил, нужно ещё снабдить доказательствами, но пока у него для этого нет времени, тем не менее твёрдо пообещал, что как только оно у него появится, то он непременно и обязательно это сделает.

Но видимо недосуг ему было, и он так не успел добавить нужные записи. А может быть он и передумал, т.к. не хотел лишать детей радости самим научиться решать как раз такие задачки, которые взрослым не по силам. Если дети даже не справятся, то кто же упрекать-то будет за это. А вот если справятся, то никуда уж взрослые не денутся и много-много подарков им тогда принесут!

Приведенное выше доказательство ВТФ не только соответствует оценке Ферма как «поистине удивительное», но и является конструктивным, поскольку оно позволяет вычислять новым способом как числа Пифагора, так и другие особые числа, что демонстрируют следующие теоремы.

Теорема 1. Для любого натурального числа n можно вычислить сколько угодно троек из разных натуральных чисел a, b, c, таких, что n=a 2+ b 2–c 2. Например,

n=7=6 2+14 2–15 2=28 2+128 2–131 2=568 2+5188 2–5219 2=

=178328 2+5300145928 2–5300145931 2и т. д.

n=34=11 2+13 2–16 2=323 2+3059 2–3076 2=

=247597 2+2043475805 2–2043475820 2и т. д.

Смысл этой теоремы в том, что если существует бесконечное множество пифагоровых троек, образующих число ноль в виде: a 2+b 2−c 2=0; то ничто не мешает создавать таким же образом и любое другое целое число. Из текста теоремы следует, что числа с такими свойствами «можно вычислить», поэтому она очень полезна для использования её в целях обучения детей в школе.

Мы в данном случае не поступим опрометчиво и не дадим ни здесь, ни где-нибудь в другом месте доказательства этой теоремы, но вовсе не потому, что хотим сохранить его в секрете. Более того, мы будем рекомендовать и для школьных учебников или других книг, (если, конечно, она там появится), не раскрывать доказательство, т.к. иначе её образовательное значение будет утрачено, а дети, которые могли бы проявить здесь свои способности, лишатся такой возможности. С другой стороны, если бы доказательство ВТФ оставалось бы неизвестным, то теорема 1 была бы очень трудной, но поскольку это теперь не так, то даже не очень способные ученики быстро догадаются как её доказать и, как только они это сделают, то легко выполнят приведенные выше вычисления. Тем более не может быть проблемой такая задача для учителей, поэтому помещать доказательство в учебниках будет методологической ошибкой. Также нужно поступить и с теоремами 2 и 3, которые будут уже для настоящих волшебников, а потому и значительно более трудные. Ключ к их доказательству находится в доказательстве теоремы 1, причём он лежит там на виду буквально у всех под носом, но он так искусно скрыт от непосвящённых, что увидеть его дано не всем. Если же не последовать нашей рекомендации и доказательства теорем 1, 2, 3 опубликовать в учебниках, то дети уже не смогут сами своими силами разгадать секрет волшебной сказки. Итак, из теоремы 1 теперь следует: