Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Если какой-то очень уважаемый общественный институт поощряет таким образом развитие науки, то что на это можно возразить-то? Однако вот такая возникающая невесть откуда щедрость и бескорыстность со стороны непонятно откуда взявшихся благодетелей выглядит как-то странно, если не сказать заведомо предвзято. Ведь с давних пор хорошо известно, откуда берутся и куда приводят подобные «благие намерения», да и результат этих деяний тоже очевиден. Чем больше возникает учреждений для поощрения учёных, тем в большей степени реальная наука оказывается в руинах. Чего стоит одна только нобелевская премия за «открытие», подумать только … ускоренного разбегания галактик!!!

Проблема Варинга – это утверждение о том, что любое натуральное число N представимо в виде суммы одинаковых степеней x i n, т.е. в виде N=x 1 n+ x 2 n+…+ x k n. Впервые её очень сложным способом доказал Гилберт в 1909 году, а в 1920 г. математики Харди и Литлвуд упростили доказательство, но их методы ещё не относилось к элементарным. И только в 1942 г. советский математик Ю. В. Линник опубликовал арифметическое доказательство, применив метод Шнилермана. Теорема Варинга – Гилберта имеет фундаментальное значение с точки зрения сложения степеней и не противоречит ВТФ, т.к. в ней нет ограничений количества слагаемых.

Контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера, представляется как 95800 4+ 217519 4+ 414560 4= 422481 4; Другой пример 2682440 4+ 15365639 4+ 18796760 4= 20615673 4. Для пятой степени всё значительно проще 27 5+ 84 5+ 110 5+ 133 5= 144 5. Возможно также, что может быть разработан и общий метод подобных вычислений, если удастся получить соответствующее конструктивное доказательство проблемы Варинга.

Конечно же, это вовсе не означает, что компьютерщики лучше разбираются в этой проблеме, чем Гилберт. У них просто не было иного выхода. Ведь замкнутые ссылки зацикливаются, а это приведёт к зависанию компьютера.

Аксиома о том, что сумма двух целых положительных чисел может быть равна нулю, явно не относится к арифметике, т.к. с натуральными или производными от них числами это явно невозможно. Но если есть только алгебра, а арифметики нет, то и не такое станет возможным.

Любопытно, что даже Эйлер, (видимо по оплошности), назвал извлечение корня операцией обратной по отношению к возведению в степень [8], хотя и отлично знал, что это не так. Но ведь это и не секрет, что даже особо одарённые люди часто путаются в очень простых вещах. Эйлер явно не испытывал тяги к формальным построениям основ науки, поскольку у него всегда было в избытке всяких других идей. Он-то думал, что с формальностями разберутся и другие, а получилось так, что именно отсюда и выросла самая большая проблема.

Это очевидно хотя бы по факту того, в какой мощный толчок для развития науки воплотились бесчисленные попытки доказать ВТФ. Кроме того, доказательство ВТФ, полученное Ферма, открывает путь к решению уравнения Пифагора новым способом (см. п. 4.3) и волшебным числам типа a+b–c=a 2+b 2–c 2(см. п. 4.4).

В русскоязычном разделе «Википедии» эта тема названа «Гипотеза Била». Но поскольку имя автора в оригинале Andrew Beal, то мы будем использовать название «Гипотеза Биэла», чтобы избежать путаницы между именами Beal (Биэл) и Bill (Бил).

В письме Ферма к Мерсенну от 15.06.1641г. сообщается следующее: « Я пытаюсь как можно более полно удовлетворить любопытство г. де Френикля… Однако он просил меня прислать решение одного вопроса, что я откладываю до тех пор, пока не вернусь в Тулузу, так как я теперь нахожусь в деревне, где мне понадобилось бы много времени, чтобы сделать заново то, что я написал по этому поводу и что оставил в своем кабинете » [9, 36]. Это письмо – прямое свидетельство того, что Ферма в своей научной деятельности никак не мог обходиться без своих рабочих записей, которые, судя по дошедшим до нас документам, были весьма объемистыми и их вряд ли можно было постоянно иметь при себе в различных поездках.

Если бы Ферма дожил до того времени, когда Академия наук была создана и стал бы академиком, то и в этом случае он вначале публиковал бы только постановки задач и, только спустя достаточно длительное время, основную суть их решения. Иначе могло бы создастся впечатление, что эти задачи слишком просты.

Для этой задачи нужно использовать тождество: (a 2+b 2)×(c 2+d 2)=(ac+bd) 2+(ad−bc) 2= (ac−bd) 2+ (ad+bc) 2. Далее берём два числа 4 + 9 = 13 and 1 + 16 = 17. Их произведение будет 13×17 = 221 = (4 + 9) × (1+16) = (2×1 + 3×4) 2+ (2×4 − 3×1) 2= (2×1 − 3×4) 2+ (2×4 + 3×1) 2= 14 2+ 5 2= 10 2+ 11 2; Теперь если 221 6= (221 3) 2= 10793861 2; то требуемый результат будет 221 7= (14 2+ 5 2)×10793861 2= (14×10793861) 2+ (5×10793861) 2= 151114054 2+ 53969305 2= (10 2+ 11 2)×10793861 2=(10×10793861) 2+ (11×10793861) 2=107938610 2+ 118732471 2; Но можно пойти и другим путём, если представить исходные числа, например, следующим образом: 221 2= (14 2+ 5 2)×(10 2+ 11 2) = (14×10 + 5×11) 2+ (14×11 − 5×10) 2= (14×10 − 5×11) 2+ (14×11+5×10) 2= 195 2+ 104 2= 85 2+ 204 2; 221 3= 221 2×221 = (195 2+ 104 2)×(10 2+ 11 2) = (195×10 + 104×11) 2+ (195×11 − 104×10) 2= (195×10 − 104×11) 2+(195×11 + 104 × 10) 2= 3 094 2+ 1105 2= 806 2+ 3185 2; 221 4= (195 2+ 104 2)×(85 2+ 204 2) = (195×85 + 104×204) 2+ (195×204 − 85×104) 2= (195×85 − 104×204) 2+ (195×204 + 85×104) 2= 37791 2+ 30940 2= 4641 2+ 48620 2; 221 7= 221 3×221 4= (3094 2+ 1105 2)×(37791 2+ 30940 2) = (3094×37791 + 1105×30940) 2+ (3094×30940 − 1105×37791) 2= (3094×37791 − 1105×30940) 2+ (3094×30940 + 1105×37791) 2; 221 7= 151114054 2+ 53969305 2= 82736654 2+ 137487415 2

Если были бы найдены рабочие записи Ферма, то оказалось бы, что его способы решения задач гораздо проще, чем те, которые известны сейчас, т.е. сегодняшняя наука еще не достигла того уровня, который имел место в его утраченных работах. Но как же могло случиться, что эти записи пропали? Вероятными могут быть две версии. Первая – это наличие у Ферма тайника, о котором никто, кроме него не знал. Если это было так, то шансов на то, что он сохранился почти нет. Дом в Тулузе, где жил Ферма со своей семьей не сохранился, иначе там был бы музей. Остаются места работы – это тулузский Капитолий, (перестроен в 1750 г.), и здание в городе Кастр, (не сохранилось), где Ферма руководил собранием судей. Только призрачные шансы есть на то, что хотя бы какие-то стены сохранились с тех времен. Другая версия заключается в том, что бумаги Ферма имелись у его семьи, но по каким-то причинам не сохранились, (см. Приложение IV, год 1660, 1663 и 1680).

Для математиков и программистов понятие аргумента функции вполне обычно и уже давно общепринято. В частности, как f(x,y,z) обозначают функцию с переменными аргументами x,y,z. Определение сущности числа через понятие аргументов функции делает его очень простым, понятным и действенным, поскольку всё, что известно о числе, исходит отсюда, а то, что этому определению не соответствует должно подвергаться сомнению. Это не просто необходимая осторожность, но и эффективный способ проверки на прочность всякого рода конструкций, незаметно подменяющих сущность числа на сомнительные нововведения, делающие науку бестолковой и непригодной для обучения.