Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Например, если m=p 1p 2, то кроме первых трех решений будут ещё другие:

A 4=p 1; B 4=2p 1p 2 2; A 5=p 2; B 5=2p 1 2p 2; A 6=2p 1; B 6=p 1p 2 2

A 7=2p 2; B 7=p 2p 1 2; A 8=p 1 2; B 8=2p 2 2; A 9=p 2 2; B 9=2p 1 2

Формула (7) называется «Бином Ферма». Любопытно, что это же название появилось в 1984 году в романе советского писателя-фантаста Александра Казанцева «Острее шпаги». Эта формула не является тождеством, т.к. в отличие от тождества бинома Ньютона, в ней, кроме слагаемых присутствует отдельным числом ещё их сумма, однако с помощью Бинома Ферма легко вывести многие полезные тождества, в частности, разложение на множители суммы и разности двух одинаковых степеней [30].

В данном случае тождество (9) свидетельствует о том, что в преобразованную ключевую формулу (2) подставляется эта же ключевая формула, или что полученное нами уравнение (8) есть ключевая формула (2), возведённая в степень n. Но можно идти и обратным путём, просто дать тождество (9), а затем разложить в нём на множители разности степеней и так можно получить (8) без использования «Бинома Ферма» (7). Но этот путь может быть уловкой, чтобы скрыть понимание сути, ведь когда некое тождество как бы падает с неба, то вроде бы и возразить-то нечего. Однако, если заученно идти по этому пути, то есть риск разоблачения в непонимании сути, т.к. вопрос о способе получения тождества, может остаться без ответа.

Учитывая, что с−a=b−2m, выражение в квадратных скобках уравнения (8) можно преобразовать следующим образом: (c ++ b) n− (a ++ 2m) n= с n-1− a n-1+ c n-2b − a n-22m + c n-3b 2− a n-3(2m) 2+ … + b n-1− (2m) n-1; с n-1− a n-1= (с−a)(c++a) n-1; c n-2b − a n-22m = 2m(c n-2− a n-2) + c n-2(b − 2m) = (c − a)[2m(c ++ a) n-2+ c n-2]; c n-3b 2− a n-3(2m) 2= (2m) 2(c n-3− a n-3) + c n-3(b 2− 4m 2) = (c − a)[4m 2(c++a) n-3+ c n-3(b + 2m)]; b n-1− (2m) n-1= (b − 2m)(b ++ 2m) n-1= (c − a)(b ++ 2m) n-1; Все разности чисел, кроме первой и последней, можно задать в общем виде: c xb y− a x(2m) y= (2m) y(c x−a x) + c x[b y−(2m) y] = (c − a)(c ++ a) x(2m) y+ (b − 2m)(b ++ 2m) yc x= (c−a)[(c++a) x(2m) y+(b++2m) yc x]; И отсюда понятно, каким образом число (с − a) выносится за скобки. Аналогично можно вынести за скобки множитель a+b=c+2m. Но это возможно только для нечётных степеней n. В этом случае уравнение (10) будет иметь вид A iB iC iD i= (2m) n, где A i= c−b = a −2m; B i= c − a = b − 2m; C i= a + b = c + 2m; D i– полином степени n − 3 [30].

Уравнение (10) может существовать только если выполняется (1), т.е. {a n+b n−c n}=0, поэтому любой вариант с отсутствием решений приводит к исчезновению этого уравнения-призрака. И в частности, не проходит «опровержение» о том, что неправомерно искать решение при любых комбинациях множителей, поскольку A iB i= 2m 2может противоречить E i= 2 n-1m n-2, когда приравнивание E iк целому числу не всегда даёт целые решения из-за того, что полином степени n−2, (остающийся после выноса за скобки множителя c−a), может в этом случае не состоять только из целых чисел. Однако этот довод не опровергает сделанный вывод, а наоборот усиливает его ещё одним противоречием, т.к. E iсостоит из тех же чисел, (a, b, c, m) что и A i,B i,где нецелых чисел быть не может.

В данном доказательстве было вполне логично указать такую комбинацию множителей в уравнении (10), из которой следуют числа Пифагора. Однако есть и множество других возможностей получить такой же вывод из этого уравнения. Например, в [30] дан целый десяток различных вариантов и при желании можно найти ещё больше. Легко показать, что уравнение Ферма (1) невыполнимо также и для дробных рациональных чисел, т.к. в этом случае их можно привести к общему знаменателю, который затем сократить. Тогда получится случай решения уравнения Ферма в целых числах, но уже доказано, что это невозможно. В этом доказательстве ВТФ задействованы новые открытия, не известные сегодняшней науке – это метод ключевой формулы (2), новый способ решения уравнения Пифагора (4), (5), (6), и формула Бинома Ферма (7) … да, конечно же, ещё и волшебные числа из п. 4.4!!!