Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Книга под названием «Арифметика» Диофанта очень старая, но вероятно она появилась не в III, как это считалось до недавнего времени, а в XIV или XV столетии. По тем временам, когда ещё не было печатных изданий, это был очень внушительный по объёму манускрипт, состоящий из 13 книг, из которых только шесть дошли до нас. В сегодняшнем печатном виде – это совсем небольшая книжка объёмом чуть более 300 стр. [27, 2].

В 1621 году во Франции появилось издание этой книги на греческом языке оригинала с латинским переводом и замечаниями издателя, которым был Баше де Мезириа́к (Bachet de Méziriac). Это издание стало основой для работ Ферма по арифметике. Содержание книги составляют 189 задач и для всех даны решения. Среди них есть как довольно простые, так и очень трудные задачи. Но поскольку они решены, то создаётся ложное впечатление о том, что эти задачи не образовательные, а скорее развлекательные, т.е. они нужны не для того, чтобы формировать науку, а для проверки на сообразительность. В те времена по-другому и быть не могло, поскольку даже просто грамотных людей, умеющих читать и писать, было наперечёт.

Однако с точки зрения научной значимости представленных здесь задач и их решений, создание такой книги, не то, что средневековому Диофанту, но и всем учёным за всю обозримую историю было бы абсолютно невозможно. Более того, даже хотя бы должным образом усвоить содержание «Начал» Евклида и «Арифметики» Диофанта стало непосильной задачей для всей нашей науки. Тогда, естественно, возникает вопрос, как же всё-таки авторы этих книг сумели создать такие творения? Конечно, у науки он тоже возникал, но вместо ответа она хранит пока лишь своё гордое молчание. Ну что же, тогда ничто нам и не препятствует высказать здесь свою версию.

По всей видимости, это были каким-то образом сохранившиеся, а затем восстановленные письменные источники знаний погибшей в более ранние времена высокоразвитой цивилизации. Прочитать и восстановить их могли только особо одарённые люди, с экстрасенсорными способностями, позволяющими понимать письменные источники, независимо от носителя и языка, на котором они были изложены. Евклид, который вероятнее всего был царём, задействовал целый коллектив таких людей, а Диофант справился один, так и появилось авторство того и другого, хотя фактически над книгами работали не учёные, а всего лишь переписчики и переводчики.

Но вернёмся теперь к той самой задаче 8 из второй книги «Арифметики» Диофанта:

Данное число в квадрате разложить на сумму двух квадратов.

В примере Диофанта число 16 раскладывается на сумму двух квадратов и его метод даёт одно из решений 4 2=20 2/5 2=16 2/5 2+12 2/5 2, а также бесчисленное множество других подобных решений 51. Но ведь это же не решение задачи, а всего лишь доказательство того, что любой целочисленный квадрат сколько угодно раз можно составить из двух квадратов, либо в целых, либо в дробных рациональных числах.

Отсюда следует, что практическая ценность метода Диофанта ничтожна, поскольку с точки зрения арифметики дробные квадраты – это бессмыслица типа, скажем, треугольных прямоугольников или чего-то в этом роде. Очевидно, что эта задача должна решаться только в целых числах, но у Диофанта такое решение отсутствует и, естественно, Ферма стремится сам решить эту задачу, тем более что вначале ему она видится совсем не сложной.

Итак, пусть в уравнении a 2+b 2=c 2дано число c и нужно найти числа a и b . Проще всего найти решение, разложив число c на простые множители: c=pp 1p 2…p k; тогда c 2=p 2p 1 2p 2 2…p k 2=p 2(p 1p 2…p k) 2=p i 2N 2

Теперь становится очевидно, что число c 2раскладывается на a 2+b 2только в том случае, если хотя бы одно из чисел p i 2также раскладывается на сумму двух квадратов 52. Так ведь это же замкнутый круг, поскольку нужно опять число в квадрате разложить на сумму двух квадратов. Но ситуация уже совсем иная, т.к. теперь-то нужно раскладывать простое число в квадрате и это обстоятельство становится основой для решения поставленной задачи.

Если решение возможно, то должны существовать такие простые числа, которые раскладываются на сумму двух квадратов и только в этом случае в соответствии с тождеством пифагорейцев можно получить: p i 2=(x 2+y 2) 2=(x 2−y 2) 2+(2xy) 2

т.е. квадрат такого простого числа будет также суммой двух квадратов. Отсюда появляется поистине грандиозное научное открытие Ферма 53:

Все простые числа типа 4n+1 единственным образом раскладываются на сумму двух квадратов, т.е. уравнение p=4n+1=x 2+y 2имеет единственное решение в целых числах. А все остальные простые числа, относящиеся к типу 4n−1, не могут быть разложены таким же образом.

В письме-завещании Ферма показано, как это удивительное утверждение может быть доказано методом спуска. Однако доказательство Ферма не сохранилось и эту задачу решил Эйлер, которому пришлось для этого в течение целых семи лет задействовать всю свою интеллектуальную мощь 54. Теперь уже решение задачи Диофанта выглядит очевидным. Если среди простых множителей числа c нет ни одного относящегося к типу 4n+1, то и число c 2не может быть разложено на сумму двух квадратов. А если хотя бы одно такое число p iесть, то через тождество пифагорейцев можно получить:

c 2= N 2p i 2=(Nx) 2+(Ny) 2где x=u 2−v 2; y=2uv; a=N(u 2−v 2); b=N2uv

Решение получено, однако Ферма оно явно не устраивает, поскольку чтобы вычислить число N, нужно разложить число c на простые множители, а эта задача во все времена считалась едва ли не самой трудной из всех задач в арифметики 55. Затем нужно ещё вычислить числа x, y, т.е. решить задачу о разложении простого числа типа 4n+1 на сумму двух квадратов. Над решением этой задачи Ферма работал почти до конца своей жизни.

Вполне естественно, что, когда есть желание упростить решение задачи Диофанта, появляется и новая идея получения общего решения уравнения Пифагора a 2+b 2=c 2способом, отличным от тождества пифагорейцев. Как это зачастую бывает, новая идея вдруг неожиданно возникает после пережитых сильных потрясений. Видимо, так и случилось в период эпидемии чумы 1652 года, когда Ферма только каким-то чудом удалось выжить, но именно после этого он уже вполне отчётливо представлял себе, как можно решить уравнение Пифагора новым способом.

Впрочем, способ ключевой формулы для Ферма не был новым, но когда он эту формулу вывел и сразу же получил новое решение уравнения Пифагора, то был настолько этим поражён, что долго не мог прийти в себя. Ведь до этого для получения одного решения нужно задать в тождестве пифагорейцев два целых числа, а при новом способе получается, как минимум три решения, если задать только одно целое число.