Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

x=2mz=2×3805×29718=226153980;

y=√(61×226153980 2+1)=1766319049

Конечно, знатоки существующей ныне теории быстро заметят в этом примере то, что полученные в нём результаты вычислений в точности совпадут с теми, которые можно получить методом Валлиса. Однако для этого им придётся использовать иррациональное число √61, а наш пример с методом Ферма показал, что можно делать вычисления исключительно в рамках арифметики, т.е. только в натуральных числах. Несомненно также, что знатоки без особых усилий догадаются, как получить формулы, показанные в нашем примере. Однако для них будет совсем непросто объяснить, как применять этот метод Ферма в общем случае, ведь из нашего примера совсем не ясно, как можно определить, что конечной целью является решение уравнения 61m 5 2– z 5 2=243, из которого следует вести вычисления с обратным отсчётом.

Было бы просто превосходно, если бы сегодняшняя наука смогла объяснить метод Ферма во всех деталях, однако даже призрачные надежды на это пока не просматриваются. Более реалистично было бы ожидать, что будут предприняты попытки опровержений данного примера как демонстрации неизвестного науке метода решения проблемы. Тем не менее, ей придётся считаться с тем, что этот пример пока остаётся единственным за всю историю (!!!) подтверждением того, о чём Ферма сообщал в своём письме-завещании. Когда эта тайна будет раскрыта полностью, то все скептики будут посрамлены, и им не останется ничего иного, как признать Ферма более великим, чем все остальные величайшие учёные. Ведь их признавали таковыми главным образом потому, что они создавали теории, настолько трудные для понимания нормальных людей, что они могли только вызывать непомерный ужас у студентов, которым приходится теперь отдуваться за такую науку:

https://www.youtube.com/watch?v=wFz8W2HsjfQ

https://www.youtube.com/watch?v=cUytn2SZ1n4

https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNOgaBStY 43

В этом смысле следующий пример решения задачи с применением метода спуска будет особенно любопытен тем, что она была предложена в письме Ферма к Мерсенну в конце 1636 г., т.е. возраст этой задачи составляет уже почти четыре столетия. Доказательство Эйлера [8, 30] было некорректно из-за применения в нём «комплексных чисел». Однако даже исправленная версия Андре Вейля 1983 г. [17] слишком сложна для школьного обучения.

В первоначальном варианте в 1636 г. эта задача была сформулирована так:

Найти два квадрато-квадрата, сумма которых равна квадрато-квадрату, или два куба, сумма которых есть куб.

Эта формулировка была использована оппонентами Ферма как факт того, что Ферма не имел доказательства ВТФ и ограничился только этими двумя частными случаями. Однако само название «Великая теорема Ферма» появилось только после публикации «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма в 1670 г., т.е. через пять лет после его смерти. Поэтому утверждать, что Ферма заявил о ВТФ в 1637 г., нет никаких оснований.

Первый случай для четвёртой степени мы подробно рассмотрели в Приложении II. Что же касается случая для третьей степени, то представленный нами ниже способ доказательства самого Ферма не оставит никаких шансов решениям этой проблемы Эйлера и Вейля остаться частью науки, поскольку с точки зрения простоты и изящества авторского решения проблемы, они станут просто ненужными.

Чтобы доказать, что не существует два куба, сумма которых есть куб, мы применим простейший подход, основанный на делимости чисел, откуда следует, что в исходном уравнении

a 3+b 3= c 3(1)

числа a, b и c могут рассматриваться как взаимно простые, т.е. не имеющие общих делителей, однако в общем случае это не обязательно, поскольку если мы докажем, что уравнение (1) не может иметь решений в любых целых числах, в т.ч. имеющих общие множители, то этим мы докажем, что взаимно простые числа тем более не могут быть решениями исходного уравнения. Тогда мы будем исходить из того, что обе стороны уравнения (1) во всех случаях должны делиться на число c 2, тогда уравнение (1) можно представить как

c 3= c 2(x+y) = a 3+b 3(2)

В этом случае легко убедиться, что существует только одна возможность получить решения уравнения (1), если числа c, x, y, а также x+y будут кубами, т.е.

с = x+y = p 3+q 3= z 3; x = p 3; y = q 3(3)

Тогда уравнение (1) должно иметь вид:

(z 3) 3=(z 3) 2(p 3+q 3) (4)

Таким образом, мы выяснили, что если существуют числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению (1), то должны существовать числа p

p 3+q 3= z 3

Если теперь мы применим тот же подход к решению этого уравнения, который мы применили к решению уравнения (1), то мы получим такое же уравнение, только с меньшими числами. Однако поскольку невозможно бесконечно уменьшать натуральные числа , то из этого следует, что решений в целых числах уравнения (1) не существует.

На первый взгляд, мы получили очень простое и вполне убедительное доказательство задачи Ферма методом спуска, которую никто не мог получить таким простым способом в течение 385 лет, и этому можно только радоваться. Однако такой вывод был бы слишком поспешным, т.к. это доказательство на самом деле неверно и может быть опровергнуто самым неожиданным образом. Тем не менее, это опровержение настолько удивительно, что мы не будем здесь его раскрывать, потому что оно открывает путь не только для самого простого доказательства ВТФ, но и автоматически позволяет вывести на самое простое доказательство гипотезы Биэла. Обнародование способа опровержения доказательства, данного выше, вызвало бы настоящую сумятицу в учёном мире, поэтому эту тайну мы включим в число наших загадок (см. Приложение V, п. 41).

Итак, мы продемонстрировали здесь решения задач Ферма (только методом спуска!):

1) Доказательство Основной теоремы арифметики .

2) Доказательство теоремы о единственном решении уравнения

p 3=q 2+2.

3) Способ доказательства Золотой теоремы Ферма .

4) Способ решения уравнении Архимеда-Ферма Ax 2+1=y 2.

5) Способ доказательства невозможности a 3+b 3= c 3.

6) Доказательство грандиозного открытия Ферма о простых

числах типа 4n+1=a 2+b 2, которое мы изложим в другом

стиле (Приложение IV, рассказ Год 1680 ).

За прошедшие 350 (!!!) лет после публикации этих задач Ферма, всей существующей науке такой результат не мог даже и присниться!

Перед тем как приступить к теме «Великая теорема Ферма», отметим, что эта задача не была решена самим Ферма методом спуска, иначе в его формулировке ВТФ не было бы упоминания о «поистине удивительном доказательстве», которое безусловно относилось к другим методам. Поэтому к изложенным выше примерам применения метода спуска мы добавим наше представление о двух неизвестных сегодняшней науке методах, относящихся к доказательству ВТФ от самого Ферма. Наиболее экстравагантный из них – это метод чётности. Отметим также, что само понятие чётности очень часто используется в логических построениях математиков и в этом смысле оно банально. Но в нашем методе оно принимает особую форму числа.