Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Если бы мы дали здесь ответ на этот вопрос, то эта знаменитая теорема Ферма сразу превратилась бы в самую обычную школьную задачку и интерес к ней был бы утрачен. Чтобы этого не произошло, мы пока остановимся на том, что доказательство изложено здесь только на 99%, а остающийся 1% мы предложим найти тем, кому это будет интересно, чтобы оценить истинное великолепие этого научного достижения Ферма особенно в сравнении с доказательством ЗТФ Коши. 42

Рис.34. Титульная страница доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

Рис. 35. Одна из 43-х страниц доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

Постановка задачи выглядит следующим образом:

Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат .

Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433 [36].

Способ, как вычислить требуемые числа, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum» см. рис. 37-38.

Рис. 36. Джон Валлис

Хотя Валлис и не дал полное доказательства правомерности этого метода, Ферма всё же признал, что с задачей он справился. К решению почти вплотную приблизился Эйлер, когда он показал, что эта дробь цикличная, однако и ему не удалось довести доказательство до конца, и в конечном итоге эту задачу всё-таки решил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл также Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов».

Рис. 37. Титульная страница публикации Валлиса

Commercium epistolicum

И всё было бы хорошо, если бы доказательство Лагранжа не относилось к категории высшей трудности, а решение Гаусса не опиралось на сложнейшую теорию. Ведь сам Ферма явно не мог следовать ни тем, ни другим путем. О том, как он сам решил эту задачу, он сообщает в письме-завещании в августе 1659 г. [36]: « Я признаю, что г-н Френикль дал различные частные решения этого вопроса, а также г-н Валлис, но общее решение будет найдено с помощью метода спуска, примененного умело и надлежащим образом ». Однако это решение Ферма так и осталось для всех тайной за семью печатями!

Рис. 38. Страница 64 Commercium epistolicum ,

демонстрирующая метод Валлиса

Мы попробуем здесь немножко приоткрыть завесу над этой тайной. Для этого мы рассмотрим простой пример вычислений по методу Валлиса и затем сравним его с тем, как можно было бы сделать эти вычисления по методу Ферма. Итак, нам нужно найти самое маленькие числа x и y, удовлетворяющие уравнению Ax 2+1=y 2. Пусть A=29, тогда вычисления методом Валлиса выглядят следующим образом [32]:

Из этой последовательности вычислений цепочка подходящих дробей получается обратным ходом, т.е. от a 5до a 0и выглядит как: 5/1; 11/2; 16/3; 27/5. В итоге получаем 70/13. Тогда минимальным решением будет:

X 1√29+у 1=(13√29+70) 2=1820√29+9801; x 1=1820; y 1=9820

Валлис не сумел доказать, что такой способ вычислений даёт решения для любого неквадратного числа A. Однако он догадался, что цепочка вычислений заканчивается там, где a 6будет вычисляться по той же формуле, что и a 1. Чтобы понимать смысл этой цепочки вычислений, нужно изучить очень объёмистую и исключительно трудную теорию [7, 14, 19, 23, 26, 32], которую Ферма в то время не смог бы разработать. Поскольку никаких рабочих рукописей Ферма по арифметики не сохранилось, то возникает естественный вопрос: как же он мог сформулировать такую трудную задачу, о которой до него было очень мало сведений?

Для сегодняшней науки такой вопрос явно выходит за рамки её возможностей, т.к. для неё верхом достижений при решении задач Ферма является любой результат, даже раздутый до таких невероятных размеров, которые мы имеем сегодня. Однако трудно себе представить, как будет удручена эта наша уважаемая наука, когда из этой книжки она узнает, что задача была решена Ферма вовсе не для великих учёных, а … для школьников!!! Но мы здесь не можем позволить себе её так сильно огорчать, поэтому отметим только то, что приводимый в учебниках пример очень неудачный, т.к. он решается совсем просто, а именно: x=2mz, где m2−1=z 2. Это последнее уравнение отличается от исходного лишь знаком и даже методом обычных проб, не прибегая к иррациональным числам, можно легко найти решение m=13; z=70; x=2×13×70=1820; y=9820.

Очевидно, что в учебниках было бы гораздо уместнее демонстрировать пример с числом 61, т.е. наименьшим числом, предложенным самим Ферма. Как он сам решил эту задачу, науке неизвестно, но мы-то уже неоднократно демонстрировали, что узнать это для нас не проблема. Нужно всего-то лишь ещё разочек заглянуть в тайник тулузского сенатора и, как только нам это удалось, мы быстро нашли нужный пример, чтобы его можно было сравнить с методом Валлиса. В этом примере можно вычислить x=2mz, где m и z это решения соответствующего уравнения 61m 2–z 2=1. Тогда цепочка вычислений получается следующим образом:

61m 2−z 2=1

m=(8m 1±z 1)/3=(8×722+5639)/3=3805; z 2=61×3805 2−1=29718 2

61m 1 2−z 1 2=3

m=(8m 1±z 1)/3=(8×722+5639)/3=3805; z 1 2=61×722 2−1=29718 2

61m 2 2−z 2 2=9

m=(8m 1±z 1)/3=(8×722+5639)/3=3805; z 2 2=61×137 2−1=29718 2

61m 3 2−z 3 2=27

m 3=(8m 4±z 4)/3=(8×5+38)/3=26; z 3 2=61×26 2−27=203 2

61m 4 2−z 4 2=81

m 4=(8m 5±z 5)/3=(8×2−1)/3=5; z 4 2=61×5 2−81=38 2

61m 5 2−z 5 2=243

m 5=2; z 5 2=1

Мы не будем раскрывать все нюансы этого метода, иначе всякий интерес к этой задаче был бы утрачен. Мы отметим лишь, что по сравнению с методом Валлиса, где метод спуска не применяется, здесь он присутствует в явном виде. Это выражается в том, что если числа m и z, удовлетворяющие уравнению 61m 2–z 2=1, существуют, то должны ещё существовать числа m 111 2–z 1 2=3, а также числа m 21и z 21, из уравнения 61m 2 2–z 2 2=9, и т.д. вплоть до минимальных значений m 54и z 54. Число 3, фигурирующее в спуске, вычисляется как 64–61, т.е. как разница между 61 и ближайшим к нему квадратом. Вычисления, также, как и при методе Валлиса, ведутся в обратном порядке, т.е. только после того, как будут вычислены минимальные значения m 5 иz 5. В результате получаем: m=3805; z=29718;