Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Из основной теоремы арифметики следует простая, но очень эффективная идея определения чётности как числа, которое формулируется следующим образом:

Чётность данного числа – это количество делений этого числа на два без остатка до тех пор, пока результат деления станет нечётным .

Введем условное обозначение чётности угловыми скобками. Тогда выражение ‹x› = y будет означать: чётность числа икс равна игрек.

Например, выражение «чётность числа сорок равна трём» можно представить как: ‹40› = 3. Из данного определения чётности следует:

– Чётность нечётного числа равна нулю.

– Чётность нуля равна бесконечно большому числу.

– Любое натуральное число «n» можно представить как:

n = 2 w(2N – 1) где N – основание натурального числа,

w – четность.

На основе приведенного выше определения чётности можно констатировать, что равные числа имеют равную чётность. Применительно к какому-либо уравнению это положение относится к его сторонам и безусловно необходимо для того, чтобы оно могло иметь решения в целых числах. Отсюда следует закон чётности для уравнений:

Уравнение может иметь решения в целых числах в том и только в том случае, если чётности обеих его сторон равны.

Математическое выражение закона чётности W L= W R, где W Lи W R– соответственно чётности левой и правой сторон уравнения. Отличительная особенность закона чётности заключается в том, что о равенстве чисел нельзя судить по равенству их чётности, но если их чётности не равны, то это безусловно означает и неравенство чисел.

Ч ё тность суммы или разности двух чисел a и b

Если ‹a› < ‹b› , то ‹a ± b› = ‹a› Отсюда следует, в частности, что сумма или разность чётного и нечётного числа всегда даёт число с нулевой чётностью.

Если ‹a› = ‹b› = x

то либо ‹a + b› = x + 1, при этом ‹a – b› > x + 1,

либо ‹a – b› = x + 1, при этом ‹a + b› > x + 1.

Эти формулы обусловлены тем, что

‹(a + b) + (a – b)› = ‹2a› = ‹a› + 1

Отсюда следует также, что сумма или разность двух чётных или

двух нечётных чисел дает чётное число.

Ч ё тность суммы или разности двух степеней a nи b n

Если ‹a› < ‹b› , то ‹a n± b n› = ‹a n›.

Если ‹a› = ‹b› = x, то:

только для чётных n:

‹a n– b n› = ‹a – b›+ ‹a + b›+ x(n – 2) + ‹n› – 1;

‹a n+ b n› = xn + 1;

только для нечётных n:

‹a n± b n› = ‹a ± b› + x(n – 1)

При умножении натуральных чисел их ч ё тности

складываются

‹ab› = ‹a› + ‹b›

При делении натуральных чисел их ч ё тности вычитаются

‹a : b› = ‹a› – ‹b›

При возведении натурального числа в степень его чётность

умножается на степень

‹a b› = ‹a› × b

При извлечении корня натурального числа его чётность

делится на степень корня

‹ b√a› = ‹a› : b

Для решения уравнений со многими неизвестными в целых числах на практике очень часто применяется подход, когда к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение и решение исходного ищется в системе из двух уравнений. Это второе уравнение мы называем ключевой формулой. До сих пор из-за своей простоты этот метод не выделялся среди других методов, однако мы здесь покажем, насколько он эффективный и явно заслуживает особого внимания. В первую очередь мы отметим важную особенность метода, которая состоит в том, что:

Ключевая формула не может появиться иначе как выведенная из исходного уравнения .

Если эту особенность метода не учитывать, т.е. добавлять к исходному уравнению некоторое другое, то в этом случае вместо решения исходного уравнения мы получим лишь результат, указывающий на совместимость этих двух уравнений. В частности, мы можем получить не все решения исходного уравнения, а только те, которые ограничиваются вторым уравнением. В случае же, когда второе уравнение выведено из исходного, результат будет исчерпывающим, т.е. либо все решения, либо неразрешимость в целых числах исходного уравнения.

Для примера рассмотрим уравнение z 3=x 2+y 2. Чтобы найти все его решения, мы будем исходить из того, что обязательным условием (ключевой формулой) должно быть z=a 2+b 2, т.к. правая часть исходного уравнения не может быть получена иначе как произведение чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов. Этот вывод основан на том, что произведение чисел, состоящих из суммы двух квадратов, во всех случаях даёт число, также состоящее из суммы двух квадратов . Верно и обратное: если дано составное число, состоящее из суммы двух квадратов, то оно не может иметь простые множители, не состоящие из суммы двух квадратов. В этом легко убедиться из тождества

(a 2+b 2)(c 2+d 2)=(ac+bd) 2+(ad−bc) 2=(ac−bd) 2+(ad+bc) 2

Тогда из (a 2+b 2)(a 2+b 2)=(aa+bb) 2+(ab−ba) 2=(a 2 −b 2) 2+(ab+ba) 2следует, что квадрат числа, состоящего из суммы двух квадратов, даёт не два разложения на сумму двух квадратов, (как это должно быть в соответствии с тождеством), а только одно, поскольку (ab−ba) 2=0, что не является натуральным числом, иначе любое квадратное число после прибавления к нему нуля можно было бы формально считать суммой двух квадратов. Однако это не так, поскольку существуют квадраты, которые не могут состоять из суммы двух квадратов. Как установил Пьер Ферма, таковыми являются все числа, содержащие хотя бы один простой множитель типа 4n−1. Теперь из a 2−b 2=c; ab+ba=2ab=d; (a 2+b 2) 2=c 2+d 2следует итоговое решение:

z 3=(a 2+b 2) 3=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=x 2+y 2

где a, b любые натуральные числа, а все остальные вычисляются как c=a 2−b 2; d=2ab; x=ac−bd; y=ad+bc (либо x=ac+bd; y=ad−bc).

Таким образом, мы установили, что исходное уравнение z 3=x 2+y 2имеет бесчисленное множество решений в целых числах, а для конкретных заданных чисел a, b – два решения.

Из этого примера также понятно, почему одна из теорем Ферма утверждает, что:

Простое число типа 4n+1 и его квадрат только один раз раскладываются на сумму двух квадратов, его куб и биквадрат два раза, его пятая и шестая степени три и т.д. до бесконечности .

Учёный мир впервые узнал о ВТФ после первой публикации в 1670 г. «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма, (см. рис. 3 и рис. 96 из Приложения V). И с той поры, т.е. в течение трёх с половиной столетий, наука никак справиться с этой задачей не может. Более того, может быть именно поэтому ВТФ и стала объектом беспрецедентной фальсификации в истории математики. В этом очень легко убедиться, поскольку основные доводы «доказательства» ВТФ 1995 г. хорошо известны и выглядят следующим образом.