Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Пример задания и решения дифференциального уравнения Ван-Дер Поля при сравнительно малом mu=1 (и при выборе метода решения по умолчанию) представлен на рис. 7.25. Нетрудно заметить, что выбор Maple пал на метод rkf45 и что этот метод не очень удачен даже для этого метода с mu=1. Хотя общая форма колебаний (близкая к синусоидальной, но все же заметно искаженная) в интервале t от 0 до 20 просматривается, уже в данном случае видна нестабильность колебаний. При увеличен максимального значения t до 100 и более, нестабильность колебаний становится весьма заметна (проверьте это сами).

Рис. 7.25 Задание и решение дифференциального уравнения Ван-Дер Поля при сравнительно малом mu=1

Задание и решение дифференциального уравнения Ван-Дер Поля при большом mu=2000 (рис. 7.26) демонстрирует существенное изменение формы временной зависимости колебаний и их параметров. Теперь отчетливо виден разрывный характер колебаний, типичный для релаксационных колебаний. Моделирование колебаний в этом случае методом rkf45 уже невозможно и потому для решения задана опция stiff=true. При этом Maple взял за основу метод Розенброка. Он обеспечивает более качественное моделирование в системе Ван-Дер Поля.

Рис. 7.26. Задание и решение дифференциального уравнения Ван-Дер Поля при большом mu=2000

Дополнительные примеры на решение жестких систем дифференциальных уравнений можно найти в разделах справки по решению таких уравнений.

В решении ряда математических задач нужно найти решение дифференциального уравнения с двумя краевыми условиями. Например, в физике это задача стрельбы по летящей цели. Обычно такая задача решается методом пристрелки, при котором методом проб с итерационным уточнением рассчитывается ряд вариантов решения и выбирается тот, у которого соблюдается начальное условие в начале решения и начальное условие в конце решения с заданной (в частности по умолчанию) погрешностью.

Для такого решения используется функция dsolve в следующем виде:

dsolve(odesys, numeric, vars, options)

Здесь:

• odesys — множество или список обыкновенных дифференциальных уравнений и двойных граничных условии;

• numeric — опция, задающая решение в численном виде;

• vars — опционально заданный параметр, задающий имя переменной в odesys;

• options — опционально заданные равенства (в форме keyword=value), определяющие краевые условия.

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными условиями представлен на рис. 7.27. Отчетливо видно, что найденная зависимость точно удовлетворяет краевым условиям.

Рис. 7.27. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными условиями

В Maple 9.5 имеется функция pdsolve для решения дифференциальных уравнений с частными производными. Она может использоваться в следующих формах записи:

pdsolve(PDE, f, HINT, INTEGRATE, build)

pdsolve(PDE_system, funcs, HINT, other_options)

pdsolve(PDE_system, conds, numeric, other_options)

pdsolve(PDE_system, conds, type=numeric, other_options)

Эта функция введена вместо устаревшей функции pdesolve. В функции pdsolve используются следующие параметры:

• PDE — одиночное дифференциальное уравнение с частными производными;

• PDE system — система дифференциальных уравнений с частными производными;

• conds — начальные или граничные условия;

• f — неопределенная функция или имя;

• funcs — (опция) множество или список с неопределенными функциями или именами;

• HINT — (опция) равенство в форме HINT=argument, где аргумент может быть символом '+', '*', любым алгебраическим выражением или строкой 'strip';

• INTEGRATE — (опция) задает автоматическое интегрирование для множества ODEs (если PDE решается при разделении переменных;

• build — опция, задающая попытку построения явного выражения для неопределенной функции, независимо от общности найденного решения;

• numeric — ключевое слова, задающее решение в численном виде;

• other options — другие опции.

Для решения дифференциальных уравнений с частными производными и его визуализации в Maple 9.5 служит специальный инструментальный пакет PDEtool:

> with(PDEtools);

Ввиду небольшого числа функций этого пакета приведем их определения:

build(sol) — конструирует улучшенную форму решения, полученного функцией pdsolve;

casesplit(sys, о1, o2, …) — преобразует форму дифференциального уравнения; charstrip(PDE, f) — находит характеристическую последовательность, дающую дифференциальное уравнение первого порядка;

dchange(tr,expr,o1,o2,…) — выполняет замену переменных в математических выражениях или функциях;

dcoeff(expr,y(x)) — возвращает коэффициенты полиномиала дифференциального уравнения;

declare(expr) и др. — задает функцию для компактного ее отображения;

difforder(a,x) — возвращает порядок дифференциала в алгебраическом выражении а;

dpolyform(sys,no_Fn,opts) — возвращает полиномиальную форму для заданной системы sys не полиномиальных дифференциальных уравнений;

dsubs(deriv1=a,…,expr) — выполняет дифференциальные подстановки в выражение expr;

mapde(PDE,into,f) — создает карту PDE в различных форматах into с опциональным заданием имени неизвестной функции f;

separability(PDE, F(x,y,…), '*') — определяет условия разделения для сумм или произведений PDE;

splitstrip(PDE, f) — разделяет характеристическую последовательность на несоединенные поднаборы;

splitsys(sys,funcs) — разделяет наборы уравнений (алгебраические и дифференциальные) на несоединенные поднаборы;

undeclare(f(x),…) и др. — отменяет задание функции для компактного ее отображения.

Примеры решения дифференциальных уравнений и систем с частными производными представлены ниже (файл pde):