Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

Проведем диаметр AB . Разделим точкой D полуокружность пополам. Радиусом AC из точек A к B сделаем засечки E и F и проведем прямые DE и DF . Отрезок DG плюс отрезок GH дадут ¼ длины окружности IK с относительной погрешностью 0,005. Ломаная IKLM и будет искомой.

Существует другой метод, дающий относительную погрешность 0,017, но он сложнее.

287. Поскольку внешние колеса движутся вдвое быстрее внутренних, то длина окружности, которую они описывают, в 2 раза больше длины внутренней окружности. Следовательно, диаметр одного круга больше диаметра другого в 2 раза. Так как расстояние между колесами равно 1,5 м, то диаметр большего круга равен 6 м. Умножив 6 м на 3,1416 (обычное приближенное значение числа π ), мы получим 18,85 м — длину окружности большего круга.

288. Первый компаньон должен пользоваться точильным кругом до тех пор, пока радиус круга не уменьшится на 1,754 см. Второй должен уменьшить радиус еще на 2,246 см, оставив третьему 4 см и отверстие. Это очень хорошее приближение.

289. Окружности переднего и заднего колес равны соответственно 15 и 18 футам Таким образом, каждые 360 футов переднее колесо делает 24 оборота, а заднее — 20 и разность составляет 4 оборота. Если длину окружности уменьшить на 3 фута, то 12 в 360 уложится 30 раз, а 15 уложится 24 раза и разность составит 6 оборотов

290. Диаметр внутреннего круга в два раза меньше наружного, следовательно, и его окружность вдвое меньше. Если бы он просто прокатился вдоль воображаемой линии CD , то ему на это потребовалось бы два оборота: после первого точка D заняла бы положение E . Но точка B тогда попала бы в F , а не в G , что абсурдно. Дело в том, что внутренний круг делает один оборот, но он катится по линии CD как за счет собственного вращения, так и за счет переноса. Точка A попадает в B лишь благодаря обороту всего колеса, но если вы представите себе точку в центре колеса (у точки нет длины окружности), то она проходит то же расстояние за счет того, что я называю переносом. Траектория точки A представляет собой обычную циклоиду, а точка C по дороге в D описывает трохоиду.

Мы видели, что если колесо делает один полный оборот, при котором A попадает в B , то расстояние AB равно длине окружности, хотя и не можем выразить его точно. Далее, точка A движется по кривой, показан- ной на рисунке, которая, как я уже говорил, называется простой циклоидой. Если диаметр колеса равен 28 см, то мы в состоянии точно вычислить длину этой кривой. Любопытно, что, не умея точно выразить длину прямолинейного отрезка AB , мы тем не менее можем найти точную длину кривой! Чему она равна? Я дам ответ немедленно. Длина циклоиды в 4 раза больше длины диаметра. Следовательно, 4 × 28 равно искомой длине — 112 см. Кроме того, площадь фигуры, ограниченной этой кривой и отрезком AB , ровно в 3 раза больше площади круга. Следовательно, площадь каждой из замкнутых фигур, находящихся по обе стороны круга, равна площади круга.

291. Разумеется, каждая часть колеса вращается вокруг оси с постоянной скоростью, и, следовательно, в случае неподвижной оси, как, например, у точильного круга, ответ будет отрицательным. Однако в случае движущегося велосипеда не вызывает сомнений тот факт, что верхняя часть колеса движется относительно земли быстрее нижней. Если бы дело обстояло иначе, то велосипедист оставался бы на месте, подобно точильному кругу.

Взгляните на рисунок, где изображены четыре положения колеса, которые оно занимает за время полного оборота от A 1до A 4. Я уже упоминал об одной кривой, называемой простой циклоидой, которую описывает точка на ободе колеса. Здесь показаны две такие кривые, описываемые точками A 1и B 1. Обратите внимание, что за пол-оборота A 1пройдет до A 3, а B 1 — до B 3равные расстояния. Но ни одна точка не движется все время с постоянной скоростью. Это можно сразу же заметить, если мы рассмотрим четверть оборота, когда A 1займет всего лишь положение A 2, а B 1доберется уже до B 2. Мы видим, таким образом, что точка обода движется относительно земли медленней, когда она находится внизу, и быстрее, когда она расположена сверху.

А вот простой практический способ убедить наших недоверчивых друзей, не прибегая к помощи рисунка. Проведите на листе бумаги прямую линию и положите монету так, чтобы год ее выпуска находился на этой прямой. Теперь прокатите монету вдоль прямой на очень маленькое расстояние вправо и влево. При этом станет вполне очевидно, что год выпуска едва оторвется от прямой, а верхняя часть цифры, указывающей достоинство монеты, пройдет значительное расстояние. Это вполне убедительно показывает, что верхняя часть колеса (то есть часть, которая в данный момент находится сверху) движется быстрее нижней.

292. Я уже говорил о том, что если вы отметите точку на ободе велосипедного колеса, то она опишет в пространстве кривую, называемую простой циклоидой. Если же вы отметите точку на реборде колеса локомотива или железнодорожного вагона, то она опишет трохоиду, кривую, заканчивающуюся петлями. На рисунке я изобразил колесо с ребордой ниже уровня рельсов в трех положениях: начало, пол-оборота и полный оборот. Точка A 1переходит в A 2и A 3. Поскольку предполагается, что поезд движется слева направо, проведите карандашом вдоль кривой в этом направлении. Вы обнаружите, что в нижней части петли карандаш в самом деле движется справа налево. Дело в том, что «в любой заданный момент» некоторые точки внизу петли движутся в направлении, противоположном поезду. Поскольку таких точек на окружности реборды бесконечно много, при движении поезда они описывают бесконечно много подобных петель. Фактически некоторые точки реборды постоянно движутся в направлении, противоположном поезду.

293. Механизм, изображенный на рисунке, состоит из двух деревянных дощечек B и C , соединенных по углам так, что они образуют рамку. Рамка с помощью ручки n вращается вокруг оси a , которая проходит сквозь рамку и жестко закреплена на доске или столе A . Внутри рамки на ось жестко насажено зубчатое колесо D . При вращении рамки оно поворачивает толстое колесо E , которое, подобно остальным трем колесам F , G и H , свободно сидит на своей оси. Тонкие колеса F , G и H приводятся в движение толстым колесом E таким образом, что при вращении рамки H вращается в ту же сторону, что и E , G — в противоположную, a F остается неподвижным. Секрет заключается в том, что, хотя все колеса могут быть одинакового диаметра и D , E и F могут ( D и F обязаны ) иметь одинаковое число зубцов, у G , однако, зубцов должно быть по крайней мере на один меньше, а у H по крайней мере на один больше, чем у D .