Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

294. Простейшее, хотя и не единственное, решение показано на рисунке слева.

295. Решение ясно из рисунка справа.

296. Простое решение показано на рисунке. Земля разделена на 8 равных частей, каждая из которых содержит по три дерева.

297. На рисунке изображен проход сквозь минное поле, составленный из двух прямолинейных участков.

298. Шесть прямых заборов поставлены так, что каждое дерево отгорожено от остальных. Мы утверждали, что подобным же образом с помощью шести заборов можно было бы отгородить 22 дерева, если бы они были расположены «поудобней». Мы могли бы добавить, что в таком случае каждая прямая должна пересекать все остальные, причем никакие две точки пересечения не будут совпадать. Однако, поскольку в нашей головоломке участвует только 20 деревьев, эти условия уже не являются необходимыми, и четыре забора пересекают только по четыре (а не по пять) других.

299. На рисунке показаны пять разрезов, которые делят полумесяц на 21 часть.

Если число разрезов равно n , то с их помощью круг можно разрезать на ( n 2+ n )/2 + 1, а полумесяц на ( n 2+ 3 n )/2 + 1 частей.

300. Возьмите полоски из толстого картона (не обязательно с прямолинейными краями) и соедините их между собой, использовав в качестве шарнира кнопки. Две длинные полоски должны иметь, равную длину (от центра одной кнопки до центра другой), а длины четырех нижних полосок, образующих ромб, должны быть равны между собой. Гвоздики или иголки прикрепляют «инструмент» к столу в точках A и B , причем расстояния от A до B и от B до C равны между собой. Если все будет сделано аккуратно и точно, карандаш, помещенный в D , начертит прямую линию.

301. Проведите два перпендикулярных отрезка CD и EF (длина CD равна 12 см, длина EF — 8 см), пересекающихся друг с другом посередине. Найдите такие точки A и B , чтобы AF и FB равнялись половине CD , то есть 6 см, и поместите ваши булавки в A и B , взяв веревочную петлю равной ABFA . Пусть CA = x . Тогда, если карандаш находится в F , длина веревки равна 12 + (12 - 2 x ) = 24 - 2 x , а если он находится в C , длина веревки равна тоже 2(12 - x ) = 24 - 2 x , что и доказывает правильность нашего решения [39] Строго говоря, это еще не доказательство, но его можно легко получить, пользуясь свойствами эллипса. Булавки должны располагаться в фокусах эллипса A к B . CD представляет собой большую, a EF — малую оси эллипса; обозначим их соответственно через 2 a и 2 b , а фокусное расстояние AB через 2 c . Тогда из треугольника AGF получим AF = . Но в силу свойств эллипса = a , то есть AF = CD , что и требовалось. — Прим. перев. .

302. Одного взгляда на помещенный здесь рисунок достаточно, чтобы заметить, что если я отрежу часть 1 и помещу ее на место части 2 , то получится прямой отрезок стены BC , отмеченный пунктиром и в точности равный участку AB . Следовательно, не правы были оба спорщика, и цена обоих участков должна быть одинаковой. Конечно, читатель сразу заметит, что это справедливо лишь при некоторых ограничениях, но мы имеем в виду именно ту стену, какая нарисована, и в том случае, когда эти ограничения выполнены.

303. Отмерьте любое удобное расстояние вдоль берега от A до C , скажем 40 м. Затем отмерьте любое расстояние в перпендикулярном направлении до точки D , скажем 12 м. Теперь сделайте засечку E в направлении AB . Вы сможете измерить расстояние от A до B , которое в нашем случае равно 24 м, и от E до C , что даст 16 м. Далее, AB : DC = AE : EC , откуда ясно, что ширина реки AB равна 18 м.

304. Свинья пробежит 66⅔ м и будет схвачена, а Пэт пробежит 133⅓ м. Кривую [40] Эта кривая называется линией погони. — Прим. перев. , которую опишет при этом Пэт, можно измерить точно. Ее длина равна an 2/( n 2- 1), где скорость свиньи принята за 1, Пэт бежит в n раз быстрее и a — первоначальное расстояние между Пэтом и свиньей.

305. Расстояние от верхнего конца до земли составляет ⅘ длины всей лестницы. Умножьте расстояние от стены (4 м) на знаменатель этой дроби (5), и вы получите 20. Теперь вычтите квадрат числителя дроби ⅘ из квадрата ее знаменателя. При этом получится 9 = 3 2. Наконец, разделите 20 на 3, и вы получите ответ: 6 м.

306. Высота шеста над землей составляла 50 м. В первом случае он сломался в 29 м, а во втором случае в 34 м от верхушки.

307. Длина свободно висящей веревки равна 3 м 85½ см.

308. Разумеется, прямая AC не является наибыстрейшим путем. Быстрее будет доехать от A до E и далее прямо до C . Путь, требующий наименьшей затраты времени, показан на рисунке пунктирной линией от A до G (ровно 1 км от E ) и затем прямо до C .

Необходимо, чтобы синус угла FGC был в два раза больше синуса угла AGH , В первом случае синус равен 6/ = 6 = 2/ . Во втором случае синус равен 1/ = 1/ , то есть ровно в два раза меньше.

309. Как видно из рисунка, головоломка невероятно проста, если знаешь, как к ней подступиться! И все же у меня нет ни малейшего сомнения, что для многих читателей она оказалась крепким орешком. Можно заметить, что каждая спичка, несомненно, касается всех остальных.