Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

или системе неравенств

Решения неравенств f ( x ) φ( x )< 1 и f ( x ) φ( x )> 1 в предположении, что допускаются отрицательные значения f ( x ), разобраны в задачах 10.29, 10.30, 10.32.

Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень больше единицы, если основание и показатель степени одинаково расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е. основание правее единицы и показатель правее нуля или основание левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля, если основание и логарифмируемое выражение одинаково расположены по отношению к единице. Если расположение элементов, о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а логарифм меньше нуля.

10.1.Докажите, что если а + b = 2, где а и b — действительные числа, то а 4+ b 4 ≥ 2.

10.2.Докажите, что

(1 + a 1)(1 + а 2)...(1 + а n ) ≥ 2 n ,

если а 1, а 2, ..., а n , а n — положительные числа и а 1 а 2... а n = 1.

10.3.Дано а + b = с , где а , b , с — положительные числа. Докажите, что

а ⅔+ b ⅔> с ⅔.

10.4.Докажите, что − x ³ + x ² ≤ ¼, если 0 ≤ x ≤ 1.

10.5.Докажите неравенство

при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.

10.6.Докажите неравенство

( а + b ) n < 2 n ( а n + b n ),

если а > 0, b > 0, n — натуральное число.

10.7.Докажите, что при а > b > 0 и p > q где а , b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.

10.8.Докажите, что при n > 1.

10.9.Докажите неравенство

a / b + b / c + c / a > 3

где а , b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.

10.10.Докажите, что

а ² + b ² + с ² ≥ 4 S √3,

где а , b , с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.

10.11.Докажите, что

( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + 10 ≥ 1

при всех действительных значениях x .

10.12.Докажите, что если действительные числа x , у , z , не равные нулю, удовлетворяют равенствам:

x + у + z = xуz и x ² = уz ,

то

x ² ≥ 3.

10.13.Докажите, что если x , у , z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам

x + у + z = 5, уz + z x + x у = 8,

то

1 ≤ x ≤ 7/ 3, 1 ≤ y ≤ 7/ 3, 1 ≤ x ≤ 7/ 3. [9] Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).

10.14. Решите неравенство

аx ² + x + 1 > 0,

где а ≠ 0 — произвольное действительное число.

10.15. Найдите все действительные значения m , при которых квадратный трехчлен x ² + mx + ( m ² + 6 m ) будет отрицателен при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству 1 < x < 2.

10.16. Найдите все действительные значения а , при которых корни многочлена x ² + x + а будут действительными и оба корня будут больше а .

10.17.При каких значениях к корни многочлена

k ² x ² + kx − 2

будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?

10.18.Найдите все действительные значения m , для которых неравенство

тx ² − 4 x + 3 m + 1 > 0

удовлетворяется при всех положительных значениях x .

Решите неравенства:

10.19.| x ² − 2 x − 3| < 3 x − 3.

10.20.| x − 3| > | x + 2|.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27.4 x ≤ 3 · 2 √ x + x + 4 √ x +1.

10.28.4 x ² + 3 √ x +1+ x · 3 √ x < 2 x ² · 3 √ x + 2 x + 6.

10.29 [10] Требуется найти не только положительные значения x . .

Решите неравенства:

10.30.(4 x ² + 12 x + 10) | x ³ − 5 x + 2| ≥ (4 x ² + 12 x + 10) x − 2.

10.31. x log аx +1> а ² x .

10.32 [11] Требуется найти не только положительные значения x . .

10.33.

10.34.

10.35.

10.36.log 2(2 x − 1) log ½(2 x + 1− 2) > −2.

10.37.log | x + 6|2 · log 2( x ² − x − 2) ≥ 1.

10.38.

10.39.log kxx + log x ( kx ²) > 0, где 0 < k < 1.

10.40.log x [log 2(4 x − 6)] ≤ 1.

10.41.

10.42.