Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

11.11.С помощью формулы log ab = log a kb k можно добиться того, что в уравнение будут входить только log x 7 и log 7 x .

11.12.Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log 3 x . (!)

11.13.Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = log x 3. (!)

11.14.Так как 2 log x 2 = log x 4, то после умножения обеих частей уравнения на log 4 x оно упростится. Нарушится ли при этом равносильность?

11.15.Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x . Равносильное ли получится уравнение?

11.16.В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой

11.17.При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.

11.18.Если log √ bx записать при основании а, то уравнение упростится.

11.19.Если в каждом из подкоренных выражений произвести логарифмирование с переходом к общему основанию а , то это позволит выделить под радикалами полные квадраты. Очевидно, такие же ограничения, как на а, должны быть наложены и на x .

11.20.Система не может иметь решений, в которых хотя бы одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно, каждое уравнение можно прологарифмировать.

11.21.Поскольку нам известно, чему равно x у , то второе уравнение целесообразно возвести в степень у .

11.22.Из вида системы следует, что x и у положительны. Так как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то целесообразно попытаться их найти.

11.23.Так как 11 xz : 11 z = 11 ( x − 1) z , то с помощью этого соотношения можно получить уравнение относительно .

11.24.Так как коэффициенты в левых частях уравнений одинаковы (двойку во втором уравнении можно убрать, прибавив единицу к показателю степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей общего множителя.

11.25.Вначале нужно перейти к общему основанию у логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических уравнений.

11.26. Способ 1.Систему можно решить подстановкой, выразив из второго уравнения у через x .

Способ 2.Воспользоваться равенством а log bc = с log bа .

11.27.Решение системы нужно начать с использования ограничений, что позволит сократить число рассматриваемых случаев.

Из второго уравнения следует, что x и у — величины одного знака. Поскольку должен существовать log 2( x + у ), то x и у положительны. Сумму x + у легко сравнить с единицей.

11.28.Это — алгебраическая система относительно u = log 2 x и v = log 2( у + 1). (!)

11.29.Оба уравнения можно упростить с помощью формулы

log a kN = 1/ k log aN ( а > 0, а ≠ 1).

11.30.Первые два уравнения можно рассматривать как систему относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что это позволит найти x .

12.1.Выражения, стоящие в квадратных скобках, существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в степень. (!)

12.2.Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:

tg 2α [tg (30° − α) + tg (60° − α)] = 1 − tg (60° − α) tg (30° − α).

12.3.Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с ½ tg x / 2.

12.4.Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют α + β и α, то вместо sin β удобно записать sin [(α + β) − α] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)

12.5.Домножить и разделить на 2 sin π/ 7и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)

12.6.Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin π/ 7. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).

12.7.Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.

12.8.В произведении sin ( x + у ) sin ( x − у ) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.

12.9.Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы α и β.

12.10.Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно α, β и γ. Левую часть данного равенства удобно выразить через sin²α, sin²β, sin²γ.

12.11.Подставить β = α + π/ 3, γ = α + 2π/ 3 и записать данное выражение через синусы и косинусы.

12.12.Так как ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию, то ctg α + ctg γ = 2 ctg β. Если теперь вспомнить, что β = π/ 2− (α + γ), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg α + ctg γ. (!)

12.13.cos 106° = cos (90° + 16°) = −sin 16° = −2 sin 8° cos 8°.

13.1.Множитель √2 sin ( x + π/ 4) замените на sin x + cos x .

13.2.Левую часть можно преобразовать так, чтобы она содержала множителем выражение, стоящее в правой части.

13.3.Выразить левую часть уравнения через sin x и cos x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.

13.4.Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

13.5.Если записать 1/ tg x вместо ctg x , то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.

13.6.Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3 x . Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3 x .

13.7.Нетрудно заметить, что множитель sin ( x + π/ 4) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.

13.8.Перенести tg 2 x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.

13.9.Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2π, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.

13.10.Перенести sin α в левую часть и привести полученную сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой части sin x выразить через функции половинного аргумента.