Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Треугольную пирамиду называют тетраэдром .

Правильным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все ребра равны.

В задачах рассматриваются только прямые круговые конусы и цилиндры.

Конус (цилиндр) называется равносторонним , если его осевое сечение есть правильный треугольник (квадрат).

3.1.Через точку, лежащую на ребре двугранного угла α (0 < α < π/ 2), проходят два луча, расположенных в различных полуплоскостях его. Один из этих лучей перпендикулярен к ребру, а другой образует с ребром острый угол β. Найдите угол между данными лучами.

3.2.Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в некоторой плоскости P , а катеты составляют с этой плоскостью углы α и β. Определите угол между плоскостью P и плоскостью треугольника.

3.3. Стороны угла α наклонены к плоскости P под углами β и γ. Найдите косинус угла, являющегося проекцией угла α на плоскость P .

3.4.Даны четыре скрещивающиеся прямые: а, b, с и d . Постройте прямую, параллельную а и одинаково удаленную от остальных трех прямых.

3.5.Равносторонний треугольник ABC со стороной, равной а, лежит на плоскости P . На перпендикуляре, восставленном из точки А к плоскости P , отложен отрезок АS = а . Найдите тангенс острого угла между прямыми AB и AC .

3.6.В пространстве даны два луча Ax и By , не лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол 90°; AB — их общий перпендикуляр. На лучах Ax и By взяты точки: M на Ax и P на By , такие, что 2АМ · ВР = AB ². Докажите, что расстояние от середины O отрезка AB до прямой MP равно 1/ 2 AB .

3.7.Докажите, что четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

3.8.На плоскости P лежит правильный треугольник ABC со стороной а . Из точек С и В восставлены перпендикуляры к плоскости P и на них отложены отрезки СЕ = а √ 2 и BD = a / √2(с одной стороны от плоскости P ). Найдите площадь треугольника DEA и косинус угла между плоскостью P и плоскостью этого треугольника.

3.9.Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной а , если двугранные углы между плоскостью основания и боковыми гранями равны α, β и γ.

3.10.Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник ABC с площадью S и основанием AB = а . Две боковые грани пирамиды, опирающиеся на равные стороны основания, имеют при вершине пирамиды прямые углы. Найдите угол, образованный третьей боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, если объем пирамиды равен V .

3.11.В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна √3, а угол бокового ребра с плоскостью основания в четыре раза меньше плоского угла при вершине. Найдите площадь боковой поверхности.

3.12.В тетраэдр вписан другой тетраэдр так, что его вершины лежат в точках пересечения медиан граней первого тетраэдра. Найдите отношение объемов тетраэдров.

3.13.Шар касается всех боковых граней пирамиды в точках пересечения их медиан, причем центр шара находится внутри трехгранного угла, образованного боковыми гранями пирамиды. Докажите, что пирамида правильная.

3.14.Докажите, что в усеченной пирамиде сторона квадрата, равновеликого площади сечения пирамиды, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию, равна среднему арифметическому сторон квадратов, равновеликих основаниям пирамиды.

3.15.В пирамиде ABCD дано BC = а, CA = b , AB = с , DA = а 1, DB = b 1, DC = с 1. Найдите косинус острого угла между скрещивающимися ребрами AD и BC этой пирамиды.

3.16.Плоскость, проходящая через одно из ребер правильного тетраэдра, делит его объем в отношении 3 : 5. Найдите тангенсы углов α и β, на которые эта плоскость делит двугранный угол тетраэдра.

3.17.В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Через ребро основания проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол β. В каком отношении она делит площади тех боковых граней, которые она рассекает на два треугольника?

3.18.Высота треугольной пирамиды ABCD , опущенная из вершины D , проходит через точку пересечения высот треугольника ABC . Кроме того, известно, что DB = b , DC = с , ∠ BDC = 90°. Найдите отношение площадей граней ADB и ADC .

3.19.В треугольной пирамиде SABC все плоские углы трехгранных углов с вершинами в точках A и B равны α, AB = а . Определите объем пирамиды.

3.20.Две грани треугольной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой AB . Двугранный угол при AB равен α. Найдите двугранный угол, у которого ребро есть катет.

3.21.В треугольной пирамиде SABC два плоских угла ASB и BSC при вершине S равны α, а третий плоский угол ASC равен α/ 2. Ребро AS перпендикулярно к плоскости основания ABC . Найдите угол BAC .

3.22.В тетраэдре ABCD ребро AB = 6, ребро CD = 8, а остальные ребра равны √74. Найдите радиус R описанного шара.

3.23.В правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями равен α. Найдите высоту данной пирамиды, если расстояние от основания высоты до бокового ребра равно а . Ответ приведите к виду, удобному для логарифмирования.

3.24.В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а . Одна боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с боковой стороной b ( b ≠ а ) и перпендикулярна к плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое является квадратом и пересекает эту грань по прямой, параллельной основанию.

3.25.Боковые ребра треугольной пирамиды равны а , b , с . Плоские углы при вершине прямые. В пирамиду вписан куб так, что одна его вершина находится в вершине пирамиды, а противоположная лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите ребро куба.

3.26.В правильную треугольную пирамиду с высотой h вписан куб с ребром а так, что основание куба лежит на основании пирамиды. Найдите объем пирамиды.

3.27.Трехгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными прямыми, пересечен плоскостью. Докажите, что полученный в сечении треугольник остроугольный.

3.28.Найдите объем тетраэдра ABCD , если BC = AD = а, CA = DB = b , AB = DC = с .