Луис Арталь - Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Средние издержки, или издержки на единицу продукции, определяются как результат деления общих издержек на число единиц произведенной продукции:

Например, при производстве 10 единиц продукта для каждой единицы можно рассчитать предельные и средние издержки.

Общие, предельные и средние издержки производства.

На основе этих данных можно построить кривые всех издержек производства.

Как можно видеть, средние издержки обычно намного выше предельных. Кривая предельных издержек показывает минимальные издержки на каждую единицу продукции. Точка пересечения графиков предельных издержек и средних издержек совпадает с точкой минимума средних издержек, так как если предельные издержки меньше средних, то средние издержки снижаются. После точки пересечения графиков предельные издержки превышают средние издержки, при этом последние возрастают.

Тот факт, что кривая средних издержек восходит после точки пересечения с кривой предельных издержек, служит подтверждением закона убывающей доходности. Точка пересечения этих кривых соответствует минимуму издержек, начиная с которого средние издержки неизбежно возрастают (если только не появляются новые технологии, ведущие к снижению производственных издержек). Как следствие, с ростом средних издержек доходность будет убывать.

* * *

ПРОИЗВОДНЫЕ И ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ

В экономике для определения зависимости одной переменной от другой (например, предложения товара от его цены) необходимо знать, как сильно возрастает функция, описывающая связь между этими переменными, в точке А. Благодаря этому можно сравнить уровень ее вариации (роста или падения) относительно других точек кривой. Чтобы оценить уровень вариации, определяется угол наклона касательной к графику рассматриваемой функции в точке А. Этот угол определяется как угол между касательной в точке А и горизонтальной осью координат.

Рассматриваются различные точки на графике: В 1, В 2, В 3, которые постепенно приближаются к точке А. Затем рассматриваются прямые s 1, s 2, s 3, соединяющие эти точки с точкой Аи пересекающие график функции (секущие прямые). Можно видеть, как постепенно секущие s1, s2, s3приближаются к t — касательной к графику функции в точке А.

Углы, образуемые секущими s1, s2, s3 с горизонтальной осью, уменьшаются, и наконец, когда точки B1, В2, В3совпадают с А, угол, образуемый этими прямыми с горизонтальной осью, становится равен углу наклона касательной tg(A)= c/ b.

В прямоугольном треугольнике АВС тангенс угла А определяется как tg (А)= с/ Ь.

Отношение катетов в треугольниках AB 1A 1, АВ 2Т 2, АВ 3Т 3 изменяется и становится соответственно равным тангенсу угла 1, угла 2, угла 3 пока точка Вне совпадет с точкой А(в пределе) и тангенс этого угла не станет равен тангенсу указанного угла α.

Iim B->Atg(угол i)= AT/ RT= tg α— это тангенс угла наклона прямой x(касательной к графику функции f(x)в точке A).

Значение Iim B->Atg(угол i)= (AT/ RT)∙ (угол i)= AT/ RTназывается производной функции f(х)в точке Аи совпадает со значением тангенса угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная любой функции рассчитывается по правилам дифференцирования, выведенным с помощью пределов, приведенных выше. При анализе зависимостей используются таблицы производных для произвольных функций.

* * *

Точка пересечения кривой средних издержек и кривой предельных издержек соответствует оптимальному объему производства, так как она совпадает с точкой минимума средних издержек. Логично, что компании всегда стремятся производить продукцию при минимальных затратах.

Кривые средних и предельных издержек.

Тем не менее эта задача не так проста, поскольку для достижения оптимального объема производства нужно учитывать, что для выпуска заданного объема продукции при заданной технологии можно использовать разные сочетания факторов производства. Как определить оптимальное соотношение факторов для предприятия?

Для простоты предположим, что существует всего два фактора производства, Аи В. Введем новое понятие — предельной продуктивности фактора производства, то есть отношение прироста продукции, вызванного увеличением фактора производства на единицу, к приросту затрат, вызванных увеличением этого фактора производства.

При сравнении производительности двух факторов производства оптимальным из них будет тот, при котором выполняется равенство:

Для изучения экономического, общественного или статистического процесса, для которого известна соответствующая ему его функция f(х), при изменении значения переменной хнужно рассматривать график этой функции, описывающий этот процесс с точки зрения математики.

Оцениваем выгодность вложений

Простейший способ размещения сбережений — это банковский вклад или вложение в инвестиционный фонд. Существуют и более сложные способы разместить сбережения, например игра на бирже или инвестиции в бизнес-проекты. Доход по банковскому вкладу выплачивается в виде процентов. Инвестиционный фонд позволяет получить доход на вложенные средства, а по ценным бумагам, котирующимся на бирже, выплачиваются дивиденды, и инвестор, при благоприятном для него изменении курса, получает доход в виде прибавочной стоимости. Окупаемость инвестиций (англ. ROI) равняется величине полученной прибыли, разделенной на величину вложенного капитала, и выражается в процентах: