Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Психолог Майкл Годкевич из Университета Торонто заставляет еще сильнее сомневаться, что самый «приятный» прямоугольник – это именно золотой прямоугольник. Годкевич первым указал на тот важный факт, что средние преференции группы могут вовсе и не отражать, какой прямоугольник самый «приятный», по мнению отдельного участника эксперимента. Зачастую то, что в среднем выбирают чаще всего, не стоит на первом месте ни у кого. Например, вполне может быть, что марка шоколада, которая у каждого стоит на втором месте, займет первое место в среднем по результатам опросов, но на самом деле ее никто даже не купит! Следовательно, более разумная мера преференции – это именно количество случаев, когда что-то занимает первое место, а не средние значения количества предпочтений. Далее Годкевич отмечает, что если золотое сечение действительно искренне предпочитает большинство, значит, его чаще всего будут выбирать первым номером, независимо от того, какие еще прямоугольники показывают испытуемым.

В 1974 году Годкевич опубликовал результаты исследования, в котором участвовали 27 прямоугольников с соотношением длины и ширины в трех диапазонах. В одном диапазоне золотой прямоугольник был ближе к самому продолговатому треугольнику, в другом находился примерно посередине, в третьем был близок к самому короткому прямоугольнику. Согласно Годкевичу, результаты эксперимента показали, что золотой прямоугольник предпочитали в зависимости от положения в диапазоне прямоугольников и от того обстоятельства, что в более ранних экспериментах применялось среднее ранжирование по преференции, а не учитывалось количество случаев, когда золотой прямоугольник занимал первое место. Годкевич делает вывод, что «На главный вопрос – есть или нет в западном мире надежное, вербально выраженное эстетическое предпочтение определенного соотношения между длиной и шириной прямоугольных фигур – получен, вероятно, отрицательный ответ. Едва ли остается какое бы то ни было разумное основание считать золотое сечение решающим фактором при определении формальной визуальной красоты».

С выводами Годкевича согласны не все. Английский психолог Крис Макманус в 1980 году опубликовал результаты тщательного исследования, где применялся метод сопоставления по парам, то есть суждение выносилось по каждой паре прямоугольников. Считается, что этот метод лучше других экспериментальных методов, поскольку существуют солидные доводы в пользу того, что любое ранжирование – это скорее процесс последовательного сопоставления в парах. Макманус сделал вывод, что «есть умеренно надежные свидетельства в пользу феномена, на котором настаивал Фехнер, хотя метод, которым пользовался для его доказательства сам Фехнер, в лучшем случае можно назвать крайне подозрителеным и приводящим к артефактам». Однако Макманус признал, что «Важно ли при этом золотое сечение как таковое, в противоположность простым соотношениям (1,5, 1,6 или даже 1,75), совершенно неясно».

Можете протестировать самого себя или своих друзей и узнать, какой прямоугольник нравится вам больше всего. На рис. 84 изображено 48 прямоугольников одной высоты, но разной ширины, которая варьируется от 0,4 до 2,5 высоты. Математик Джордж Марковски из Университета штата Мэн пользовался этой коллекцией в своих неофициальных экспериментах. Интересно, займет ли у вас первое место именно золотой треугольник? (Пятый слева в четвертом ряду.)

Рис. 84

Пифагор открыл, что разные музыкальные тоны соотносятся между собой как рациональные числа, и этим открытием в наши дни пользуются все струнные квартеты и все симфонические оркестры. Более того, в перечень обязательных образовательных дисциплин, принятый у древних греков и оставшийся неизменным до времен Средневековья, музыка входила как раздел математики, а музыканты сосредотачивали свои усилия на понимании математической основы тонов. Концепция «музыки сфер» – великолепный синтез музыки и математики, и в воображении философов и музыкантов именно она позволяла – пусть и немногим избранным и одаренным – представить себе мироздание как единый величественный замысел. По словам великого римского оратора и философа Цицерона (ок. 106–43 гг. до н. э.) «звук, о котором говорилось выше, производимый необычайно быстрым круговращением всего мира, столь силен, что человеческое ухо не может его воспринять, – подобно тому, как вы не можете смотреть прямо на Солнце, когда острота вашего зрения побеждается его лучами» (Пер. И. Горенштейна). Лишь в XII веке музыка перестала рабски следовать математическим формулам и предписаниям. Однако даже в XVIII веке немецкий философ-рационалист Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) писал: « Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi » («Музыка есть тайное арифметическое упражнение духа, который не знает, что он занят вычислениями»).

Примерно в это же время великий немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах (1685–1750) необычайно увлекался разнообразными играми с участием чисел и музыкальных тонов. В частности, он при помощи музыкального шифра закодировал в некоторых своих сочинениях собственную подпись. Согласно старой немецкой системе записи нот буква В соответствовала си-бемоль, а H – си; А – это ля, С – до, поэтому Бах записал свою фамилию ВАСН нотами – си-бемоль, ля, до, си. Кроме того, Бах применял и шифр, основанный на Гематрии. Буквенное обозначение ноты ля – А – соответствует число 1, ноты си – В – числу 2, до – С – числу 3 и т. д., поэтому B - A - C - H = 14, а J - S - B - A - C - H = 41 (поскольку во времена Баха I и J в немецком алфавите были одной и той же буквой). Эрик Альтшулер, математик и большой любитель творчества Баха, в своей увлекательной книге «Баханалия» ( Eric Altschuler . Bachanalia, 1994) приводит многочисленные примеры зашифрованных в музыке композитора чисел 14 ( ВАСН ) и 41 ( JSB АCH ); он убежден, что Бах сознательно употреблял именно такие последовательности нот. Например, тема первой фуги Баха, в фуге до-мажор из первого тома «Хорошо темперированного клавира», состоит из четырнадцати нот. Кроме того, из двадцати четырех повторений темы в двадцати двух она доведена до завершения, в двадцать третьем – почти до завершения и лишь в одном, четырнадцатом, вообще не завершена. Альтшулер делает вывод, что то, что Бах так увлеченно ставил в своих произведениях шифрованную подпись, сродни пристрастию художников включать автопортреты в создаваемые картины или манеры Альфреда Хичкока исполнять во всех своих фильмах маленькую роль-камео.