Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

В научно-популярной книге Труди Хэммел Гарланд «Чудесные числа Фибоначчи» приведен пример лимерика, где количество строк (5), количество стоп в каждой строке (2 или 3) и общее число стоп (13) представляют собой числа Фибоначчи:

Однако зачастую появление в стихотворении нескольких чисел Фибоначчи ни в коем случае нельзя считать свидетельством того, что поэт непременно имел в виду эти числа или золотое сечение, когда продумывал стихотворную форму своего произведения. Поэзия, как и музыка, предназначена для того, чтобы ее слушать, а не читать глазами, и особенно это справедливо для поэзии минувших веков. Следовательно, важнейший структурный элемент поэзии – это соразмерность и созвучия, приятные на слух. Однако это не означает, что золотое сечение и числа Фибоначчи – единственные инструменты в арсенале поэта.

Особенно сильное заявление о роли золотого сечения в поэзии сделал Джордж Эккел Дакворт, профессор классической филологии из Принстонского университета, в 1962 году. Он выпустил книгу «Структурные закономерности и пропорции в «Энеиде» Вергилия» ( George Eckel Duckworth . Structural Patterns and Proportions in Vergil ’ s Aeneid), где утверждает, что «Вергилий строил композицию “Энеиды” на основе математических пропорций, и в каждой книге, как в небольших отрывках, так и в крупных подразделах, налицо прославленное численное соотношение, известное под разными названиями – как “золотое сечение”, так и “божественная пропорция”».

Римский поэт Вергилий (70–19 гг. до н. э.) вырос в семье земледельца, и многие ранние его пасторальные произведения повествуют об очаровании сельской жизни. Эпическая поэма «Энеида» рассказывает о приключениях троянского героя Энея и считается одним из величайших поэтических произведений в истории. Поэма состоит из двенадцати книг, и Вергилий прослеживает в ней путь Энея от путешествия из Трои в Карфаген и любви к Дидоне до образования римского государства. Эней для Вергилия – образец благочестия, преданности семье и верности государству.

Дакворт дотошно измерил длину отрывков в «Энеиде» и высчитал соотношение их размеров. В частности, он подсчитал количество строк в эпизодах, которые назвал «бо́льшими» (их он обозначил как M ) и «меньшими» (обозначены как m ), и подсчитал соотношение этих чисел. Больший эпизод или меньший, определялось по содержанию. Скажем, во многих отрывках большая или меньшая часть – это монолог персонажа, а другая часть (соответственно меньшая или большая) – это повествование или описание. Из этого анализа Дакворт делает вывод, что в «Энеиде» содержатся «сотни золотых сечений». Он также отмечает, что более ранний анализ (проведенный в 1949 году) другого произведения Вергилия – первой книги «Георгик» – дает соотношение двух частей под условными названиями «Труды» и «Дни» (образцом для Вергилия при создании «Георгик» послужили «Труды и дни» Гесиода), очень близкое к φ.

К сожалению, Роджер Герц-Фишлер доказал, что анализ Дакворта, скорее всего, построен на математическом недоразумении. Поскольку подобное заблуждение типично для многих «открытий», связанных с золотым сечением, я вкратце объясню, в чем тут дело.

Рис. 91

Предположим, у нас есть два положительных числа m и M, такие, что M больше m. Ну, например, M = 317, и это количество страниц в последней прочитанной вами книге, а m = 160, и это ваш рост в сантиметрах. Отметим эти два числа на отрезке прямой (проследим, чтобы относительные пропорции при этом сохранялись), как на рис. 91. Отношение меньшей части к большей равно m/M = 160/317 = 0,504, а отношение большей к целому – M/(M + m) = 317/477 = 0,665. Вы, конечно, отметите, что значение M/(M + m) ближе к 1/φ=0,618, чем m/M. Можно математически доказать, что это всегда так (проверьте на количестве страниц в книге, которую прочитали последней, и собственном росте в сантиметрах). По определению золотого сечения, если отрезок разделен в этом соотношении, то m/M = M/(M + m) в точности. Следовательно, возникает искушение сделать вывод, что если исследовать много отношений чисел, например, длин эпизодов, в поисках возможного присутствия золотого сечения, неважно, какое отношение мы возьмем – меньшей части к большей или большей к целому. Так вот, я только что доказал, что очень даже важно. Излишне рьяный поклонник золотого сечения, желающий доказать, что рост читателей находится в отношении золотого сечения с количеством страниц в прочитанных ими книгах, вероятно, сумеет это сделать, если представит данные в формате M/(M + m), то есть в таком виде, который делает их ближе к 1/φ. Именно это и приключилось с Даквортом. Он принял неудачное решение прибегнуть в ходе анализа только к соотношению M/(M + m), поскольку решил, что так «несколько точнее», и поэтому сжал и исказил данные и лишил свой анализ статистической достоверности. Более того, Леонард А. Керчин из Оттавского университета и Роджер Герц-Фишлер повторили в 1981 году анализ данных Дакворта, пользуясь, однако, соотношением m/M , и показали, что в «Энеиде» нет ни следа золотого сечения. Они сделали другой вывод – что «Вергилий склонен к случайному распределению длины эпизодов». Кроме того, Дакворт ошибочно «наделил» Вергилия познаниями, что отношение двух последовательных чисел Фибоначчи – это достаточно точное приближение к золотому сечению. Керчин и Герц-Фишлер, напротив, убедительно продемонстрировали, что даже Герон Александрийский, который жил позднее Вергилия и был одним из выдающихся математиков своего времени, не знал об этом соотношении между золотым сечением и числами Фибоначчи.

К сожалению, заявления о Вергилии и φ по-прежнему появляются в большинстве книг и статей о золотом сечении, что в очередной раз показывает, как велико обаяние «золотой нумерологии».

Все попытки обнаружить золотое сечение в разнообразных произведениях изобразительного искусства, в музыке и поэзии – как обоснованные, так и необоснованные – опираются на предположение, что на свете существует канон идеальной красоты и что его можно воплотить на практике. Однако история показала, что художники, создававшие произведения, которые надолго их пережили, по большей части как раз отходили от подобных академических представлений. Золотое сечение, бесспорно, играет важную роль во многих областях математики и естественных наук, однако, по моему скромному убеждению, нельзя делать из него незыблемый эстетический стандарт – ни в пропорциях человеческого тела, ни в качестве мерила в изящных искусствах.