Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

61

раза, мы получили бы, что a 3— нейтральный элемент. Поскольку это не так, у нас остается единственный вариант: а 3= е. Все группы третьего порядка изоморфны.

Эту группу мы уже видели в нашем примере с преобразованиями треугольника. Если вы внимательно посмотрите на составленную нами таблицу умножения, то увидите, что ее часть полностью совпадает с группой третьего порядка. Иногда внутри групп содержатся другие, более мелкие группы, образованные частью элементов исходной группы. Они называются подгруппами.

Подгруппа третьего порядка.

Такие группы, образованные степенями одного и того же элемента, называются циклическими, а сам элемент называется порождающим. Для произвольной группы G семейство порождающих элементов — это конечное множество элементов группы, на основе которых можно получить все остальные ее элементы. К примеру, поворот R и симметрия S — порождающие элементы группы преобразований треугольника. Чтобы лучше понять, что такое циклические группы, представьте себе циферблат часов. Каждые 12 часов стрелка вновь возвращается в исходное положение, поэтому при взгляде на часы нельзя определить, прошло какое-то время или нет.

Если выборы заканчиваются в 9 часов вечера, а подсчет голосов длится четыре часа, то никому не придет в голову сказать, что результаты будут известны в 21 + 4 = 25 часов.

Вместо этого по достижении 24 часов нужно начать отсчет снова и добавить оставшийся час. Таким образом, итоги голосования будут известны в час ночи.

62

Существуют часы с циферблатами, разделенными на 12 и 24 деления, но ничто не мешает изготовить часы с произвольным числом делений, например n. Базовым множеством группы будет множество натуральных чисел, меньших n. Мы запишем эти числа в квадратных скобках, чтобы указать, что каждое из них в действительности обозначает несколько «часов» одновременно: [0], [1], [2] ... [n - 1].

Мне хотелось бы сказать, что операцией, определенной над двумя элементами множества, будет привычная нам операция сложения без квадратных скобок, однако в этом случае мы столкнемся с серьезной проблемой. Представьте, что n равно, например, 5. Тогда представленное выше множество будет иметь вид: [0], [1], [2], [3], [4]. Сумма элементов 3 и 4 будет равна 3 + 4 = 7, а это число не принадлежит множеству. Необходимо видоизменить операцию сложения. Будем обнулять счетчик всякий раз, достигая 5. В нашем примере с числами 3 + 2 = 5, после чего наступает следующий «день», и к полученному результату нужно добавить еще две единицы. Таким образом, [3] + [4] = [2]. Изменять некоторые другие суммы не потребуется: к примеру, 1 + 2 = 3, 3 меньше 5, следовательно, [1] + [2] = [3]. Тем не менее [2] + [3] = [0], а [2] + [4] = [1], так как из результата нужно вычесть 5.

Получим следующую таблицу.

Для любого числа n можно доказать, что эта видоизмененная операция сложения будет групповой операцией на множестве {[0], [1], [2] ...[n — 1]}. Это циклическая группа порядка n, или группа целых чисел со сложением по модулю n. Она обозначается Z/n.

ЛЕВИ-СТРОСС: Достаточно, господин Вейль. Настало время поговорить о браке!

63

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь, когда вы объяснили мне основы теории групп, посмотрим, как ее можно применить при изучении структур родства. С чего начнем?

ВЕЙЛЬ: Мы начнем с очень простой модели и на ее примере постепенно покажем все принципы, необходимые для решения более общих задач. Допустим, что племя, которое мы изучаем, состоит из четырех кланов, которые, к примеру, могут поклоняться разным богам или контролировать разные территории. Так как структура брака не зависит от названий кланов, обозначим их буквами: А, В, С и D.

ЛЕВИ-СТРОСС: Вам будет интересно узнать, что когда я поселился среди индейцев намбиквара, они сразу же объяснили, что использовать собственные имена запрещено. Поэтому моим первым шагом при анализе структур родства стало обозначение членов племени различными символами во время переписи. Кроме того, я обозначал кланы буквами, а их отдельных членов — числами. В результате получилась статья, которую, можно сказать, бросало то в жар, то в холод: с холодными обозначениями вида А 7соседствовали комментарии «пышная женщина, всегда в хорошем настроении» или «тщеславный, самодовольный и не слишком умный человек».

ВЕЙЛЬ: Намбиквара... вот прекрасный пример общества, подготовленного для математиков! При решении некоторых задач сложнее всего правильно выбрать обозначения и перевести их на удобный нам язык. В нашем случае после того, как мы выделили четыре клана племени, нужно рассмотреть допустимые браки, которые мы обозначим M 1, M 2, М 3... Обратите внимание, что для описания брака достаточно указать, к какому клану принадлежат мужчина и женщина.

65

К примеру, это могут быть мужчина А и женщина В.

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь нужно установить некоторые ограничения. Во-первых, все члены племени, как мужчины, так и женщины, должны иметь право вступать в брак. Это означает, что для любых мужчины и женщины из любого клана должно существовать как минимум одно правило М, которому они соответствуют.

Пока что все звучит вполне логично. Следующая гипотеза поможет сузить проблему, совершенно необъятную во всей своей полноте. Эта гипотеза связана, как вам известно, с названием моей диссертации: «Элементарные структуры родства».

Я называю элементарными племена, в которых каждому члену соответствует единственная допустимая разновидность брака, и процесс выбора супруга (супруги) происходит автоматически. Другой предельный случай — общества, подобные нашему, которые можно назвать сложными, где каждый брак заключается с учетом бесчисленного множества психологических, социальных, экономических и других факторов.

Следует отметить, что не существует ни полностью элементарных обществ, так как внутри клана всегда допускается некоторая свобода в выборе партнера, ни абсолютно сложных, так как всегда будут существовать те или иные запреты, к примеру, недопустимость инцеста. Но на теоретическом уровне такое различие вполне применимо. При изучении элементарных структур я хотел рассмотреть сложные общества, начав с племен североамериканских индейцев кроу и омаха, которые могли делиться на десятки кланов. Их нормы определяли лишь то, с кем не мог вступать в брак тот или иной человек. Это исследование стало бы логичным продолжением диссертации, но на моем пути встали «Печальные тропики», и я никогда не нашел в себе сил рассмотреть эту в высшей степени сложную задачу с точки зрения математики, так как для этого пришлось бы прибегнуть к помощи компьютеров. С ростом числа кланов число возможных вариантов брака начинает напоминать число ходов в шахматной партии: оно является конечным, но таким большим, что на практике его можно считать бесконечным. Для изучения элементарных структур мне пришлось прочесть около семи тысяч статей, но если бы я не обратился за помощью к вам, то кто знает, смог ли бы я понять более сложные модели.