Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

ВЕЙЛЬ: Не беспокойтесь: мы ограничимся изучением элементарных структур, а прочее оставим молодым исследователям. Если вы не возражаете, я, прежде чем продолжить, напомню, что элементарные структуры удовлетворяют следующим условиям.

66

Условие 1: Все члены племени могут вступать в брак, и каждому из них соответствует единственная разновидность брака.

Обратите внимание, что в подобном обществе число возможных браков в точности равно числу кланов племени. Следовательно, в нашем примере нужно описать M 1, M 2, M 3и M 4.

Так как все мужчины должны иметь возможность вступать в брак, необходимо как минимум четыре правила, по одному для каждого клана. Допустим, что существует еще одно, пятое правило. Оно должно относиться к мужчине определенного клана. Так как кланов всего четыре, это правило обязательно будет описывать один из уже упомянутых кланов, но в таком случае разновидность брака не будет единственной! Мы доказали, что число разновидностей брака должно в точности равняться числу кланов. Однако наши четыре правила не могут быть произвольными: в М 1, М 2, М 3и M 4должны учитываться не только все мужчины, но и все женщины. Приведем пример правил, для которых выполняется это условие:

(M 1) мужчина А и женщина В

(M 2) мужчина В и женщина С

(M 3) мужчина С и женщина D

(M 4) мужчина D и женщина А

ЛЕВИ-СТРОСС: Этнологи называют такую разновидность брака обобщенным обменом, поскольку никакие два клана не обмениваются женщинами: так, мужчины А вступают в брак с женщинами В, а женщины А — с мужчинами D. Теперь, когда мы описали разновидности брака, необходимо объяснить, как они распространяются на представителей следующего поколения. Вновь будем использовать упрощенное условие.

Условие 2: Разновидность брака для каждого человека зависит только от его пола и от разновидности брака его родителей.

ВЕЙЛЬ: Это означает, что существует две функции f и g, которые ставят в соответствие каждой разновидности брака М iправила f(М i) и g(M i), описывающие

67

браки сыновей и дочерей, рожденных в этом браке. Следовательно, изучение структур родства сводится к определению разновидностей брака М iи функций f и g. Вернемся к предыдущему примеру и предположим, что дети матерей из кланов A, B, С и D принадлежат кланам В, С, D и А соответственно. Посмотрим, как можно определить функции f и g. Разновидность брака М 1описывает брак между мужчиной А и женщиной В. Клан потомков определяется по матери, следовательно, дети от брака М 1будут принадлежать клану С. Так как мужчина из клана С вступает в брак по правилу М 3имеем f(M 1) = М 3a g(M 1) = M 2поскольку женщины из клана С подчиняются второму правилу. Повторив рассуждения для остальных разновидностей брака, получим следующую таблицу.

Обратите внимание, что функции f и g описывают перестановку разновидностей брака так, что все возможные разновидности оказываются применимы для потомков обоих полов ровно один раз. В противном случае одна из разновидностей брака в следующем поколении исчезла бы, и было бы нарушено первое условие. Помните, что я рассказывал вам о симметрической группе S n, господин Леви-Стросс? Функции f и g — это перестановки элементов М 1, M 2, M 3и M 4. Сочетая их несколько раз, мы можем достичь любой, даже самой дальней ветви генеалогического древа!

Независимо от сложности правил, описывающих допустимые браки, мы всегда сможем описать их на языке алгебры — достаточно лишь запастись терпением.

ЛЕВИ-СТРОСС: Посмотрим, господин Вейль. Попробуйте доказать, что женщины принадлежат к тому же клану, что и их бабушки по отцовской линии.

ВЕЙЛЬ: Я думал, вы предложите мне задачу посложнее! Допустим, что бабушка и дедушка вступили в брак по правилу M i. Тогда их сыновья должны последовать правилу f(M i), а женщины, рожденные в этом брачном союзе, вступят в брак по правилу g(f(M i)). Следовательно, чтобы определить разновидность брака внучки, сначала нужно применить функцию f, затем — функцию g. Теперь ваш вопрос звучит так: совпадают ли g(f(M i)) и M i?

Иными словами, является ли композиция f и g тождественным преобразованием? Чтобы показать, что это не так, достаточно произвести несложные расчеты: поскольку f(M 1) равно М 3a g(M 3) равно M 4, получим, что g(f(M 1)) = M 4, а не М 1как мы хотели. Следовательно, если бабушка

68

принадлежит клану В, то внучка принадлежит к клану А. Однако бабушка по отцовской линии и ее внучка действительно будут принадлежать к одному клану. Убедитесь в этом!

ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, я впечатлен! Именно такие методы требовались мне в 40-е годы при изучении запрета инцеста — проблемы, над которой до меня работал социолог Эмиль Дюркгейм. Он одним из первых указал, что запрет инцестов есть проявление более общего феномена, распространенного практически повсеместно — экзогамии. Как только мне что-то запрещают в кругу близких родственников, я вынужден покинуть клан, чтобы преодолеть запрет. Таким образом, речь идет не о моральных, а о практических соображениях. Многие опрошенные объясняли, что если женятся на своей сестре, то у них не будет зятя. «С кем я тогда буду ходить на охоту? С кем я буду отдыхать?» — говорили они. Моя точка зрения в некотором роде отличалась от той, которой придерживался Дюркгейм. Мне было интересно понять переход от природы, описываемой всеобщими законами, к культуре, где законы в разных обществах отличались. Вскоре я понял, что запрет инцеста представляет собой некое промежуточное состояние, потерянное звено цепи. Очевидно, что это правило применяется по-разному: в некоторых обществах, чрезвычайно строгих в этом отношении, смертью караются связи, которые мы бы никогда не назвали инцестом. В таком обществе я сам был бы рожден в запретном браке, так как мои родители были пятиюродными братом и сестрой. Другие общества, напротив, настолько либеральны, что в них мужчина может жениться на младшей сестре, хотя вступать в брак со старшей сестрой запрещается. Неизменно одно: всегда существует правило, запрещающее вступать в брак с кем угодно. Согласно моей гипотезе, запрет инцеста есть признак перехода от природы к культуре: в разных обществах это правило отличается, но в то же время оно весьма схоже со всеобщими законами природы.

ВЕЙЛЬ: Если я правильно помню, брак между родными братом и сестрой всегда был запрещен, но в некоторых племенах, которые вы изучали, мужчина мог вступать в брак с дочерью брата своей матери. Посмотрим, как можно записать это правило с помощью перестановок f и g. Не будем сразу же рассматривать мужчину, вступающего в брак, и вернемся на два поколения назад. Рассмотрим брак, заключенный по одному из правил M i. Дочь, рожденная в этом браке, должна будет последовать правилу g(M i), сын — f(М i).