Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

Тогда в композиции σ 1* σ 2числу 1 ставится в соответствие 3. Теперь посмотрим, что произойдет с числом 2: при перестановке σ 2ему на смену придет 4, при перестановке σ 14 соответствует 1, следовательно, в композиции перестановок σ 1* σ 2числу 2 ставится в соответствие число 1. Продолжив рассуждения, получим

Эта композиция перестановок полностью удовлетворяет всем условиям, приведенным в определении группы. Таким образом, мы получили симметрическую группу Sn, где n — число элементов множества, к которому применяется перестановка.

ЛЕВИ-СТРОСС: А где используются эти группы?

ВЕЙЛЬ: Повсеместно! Между прочим, существует теорема, согласно которой любая конечная группа содержится в некоторой симметрической группе — достаточно верно выбрать число элементов группы. Более того, мы, сами того не осознавая,

55

уже работали с симметрической группой. Помните, как мы различали преобразования треугольника? Мы пронумеровали его вершины и рассмотрели, как они меняются местами при различных движениях. Получается, что преобразование треугольника — не более чем перестановка чисел 1, 2 и 3. К примеру, после поворота R первая вершина будет находиться там, где раньше располагалась вторая, следовательно, при этой перестановке 1 ставится в соответствие 2. Аналогично, вершины 2 и 3 будут находиться там, где раньше располагались 3 и 1 соответственно, таким образом, при этой перестановке 3 соответствует 2, 1—3. Следовательно, поворот R описывается той же информацией, что и

Повторим рассуждения для каждого преобразования и получим следующую таблицу соответствий.

Обратите внимание, что если мы составим композицию перестановок

которые, как мы только что показали, обозначают R и S соответственно, то получим следующую перестановку:

которая соответствует RS. Перестановки и преобразования треугольника в точности соответствуют друг другу! С точки зрения структуры группа преобразований, оставляющих треугольник неизменным, идентична симметрической группе S 3Говорят, что эти две группы изоморфны.

56

В общем случае группы G и Н называются изоморфными, если существует функция f, которая сопоставляет каждому элементу G некий элемент Н так, что выполняются три следующих условия:

1) различным элементам соответствуют различные отображения;

2) любой элемент Н является отображением некоторого элемента G;

3) функция f удовлетворяет определению групповой операции, а именно: если мы выполним операцию над элементами g 1и g 2множества G, после чего найдем отображение ее результата или же если мы сначала найдем отображения f(g 1) и f(g 2), после чего выполним операцию над ними, то полученные результаты будут одинаковы [5] 1 Понятие изоморфизма групп подробно рассматривается в начале приложения. .

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно, что дальше?

ВЕЙЛЬ: Аксиомы, определяющие структуру группы, можно использовать при доказательстве теорем, которые будут верны для любых групп при соблюдении необходимых условий. В частности, эти теоремы будут верны для нашей группы преобразований треугольника! Пункт 2 определения группы гласит, что существует нейтральный элемент е такой, что равенство а*е = е*а = а верно для любого а, и в определении не указывается, сколько элементов группы обладают этим свойством. Но в пункте 3 определения подразумевается, что он единственный — в противном случае потребовалось бы уточнить, какому из нейтральных элементов равна композиция произвольного элемента и обратного ему. Докажем, что нейтральный элемент является единственным. Допустим, что существуют два нейтральных элемента, е 1и е 2. Требуется доказать, что е 1= е 2. Рассмотрим произведение е 1* е 2.

С одной стороны, е 1— нейтральный элемент, поэтому он не изменяет значение элемента, записанного слева от него. Следовательно, е 1* е 2= е 2. С другой стороны, е 2— также нейтральный элемент, следовательно, при умножении любого элемента на е 2этот элемент не изменится. Таким образом, е 1* е 2= е 1Мы доказали, что е 1* е 2одновременно равняется е 1и е 2, следовательно, е 1и е 2должны быть равны.

Единственность нейтрального элемента.В любой группе существует только один элемент, для которого выполняется равенство а*е = е*а = а для любого а на множестве G.

ЛЕВИ-СТРОСС: Обратные элементы также будут единственными?

57

ВЕЙЛЬ: Конечно! Как и раньше, предположим, что существует два элемента b 1и b 2такие, что а*b 1= b 1*а = е и а*b 2= b 2*а = е. Получим, что а * b 1= а * b 2так как обе части равенства в свою очередь равны е. Это равенство по-прежнему будет корректным, если мы умножим обе его части на b 1Получим

b 1* а * b 1= b 1* а * b 2

Напомню, что в произведении трех элементов скобки можно расставить как угодно. Так,

b 1* а * b 1= (b 1* а) * b 1= е * b 1= b 1

поскольку b 1* а = е, где е — нейтральный элемент. Аналогично,

b 1* а * b 2= (b 1* а) * b 2=e*b 2= b 2

Так как оба выражения равны, имеем: b 1= b 2В силу этого свойства элемент b можно считать обратным а и записать b = а -1

Я очень рад, что вы задали этот вопрос, поскольку при ответе я упомянул одно утверждение, которое нам очень пригодится в будущем. Обратите внимание, что из равенства а * b 1= а * b 2мы вывели, что b 1= b 2Это свойство общее для всех групп: если результаты умножения двух элементов на третий элемент (в том же порядке) совпадают, то два исходных элемента равны.

Закон сокращения.Если в группе G выполняется одно из равенств

а * b = а * с или b * а = с * а, то b = с.

ЛЕВИ-СТРОСС: Но как это доказать?

ВЕЙЛЬ: Очень просто: достаточно повторить действия, которые мы уже выполнили. Допустим, дано равенство а * b = а * с. Согласно аксиоме теории групп под номером 3 для элемента а существует обратный элемент, который к тому же будет единственным. Обозначим его через a -1. Равенство по-прежнему будет верным, если мы припишем в каждую его часть слева a -1. Имеем:

a -1* а * b = a -1* а * с.

Теперь можно использовать свойство ассоциативности и сгруппировать элемент а и обратный ему. Так как a -1* а равно е, то, с одной стороны,

а -1* а * b = = (a -1* а) * b = е * b = b,

с другой стороны,

a -1*а*с = (a -1*а)*с = е*с = с,

поэтому обязательно будет выполняться соотношение b = с. Если исходное равенство будет записано не в виде a*b = a*c, а в виде b * а = с * а, достаточно будет провести аналогичные рассуждения, но приписать обратный элемент не слева, а справа.