Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

ми — до-диез — ре — си — до — соль-диез — ре-диез — фа-диез — фа —

соль — ля — ля-диез.

Теперь, господин Леви-Стросс, скажите мне, что означает слово «обратный» применительно к теории групп?

ЛЕВИ-СТРОСС: Элемент группы называется обратным другому, если результат операции над этими элементами — нейтральный элемент.

ВЕЙЛЬ: Именно! Я хочу показать, что обращение интервалов — это всего лишь особый способ, позволяющий найти обратные элементы «группы часов». Рассмотрим первый случай: нота соль соответствует элементу [3]. Какой элемент будет обратным для [3]? Велик соблазн сказать, что этим элементом будет [—3], но мы рассматриваем только положительные числа, поэтому к исходному элементу нужно прибавить 12. Получим [9], который действительно будет обратным [3], так как

[3] + [9] = [12] = [0],

то есть нейтральному элементу. А какая нота соответствует [9]?

Это нота до-диез — та же самая нота, которую мы вычислили методом обращения!

Если я не убедил вас, перейдем к следующей клетке квадрата. Ноте фа-диез соответствует элемент [2],

124

обратным ему является [10], так как [2] + [10] = [12] = [0].

А какой ноте соответствует [10]? Ноте ре! Следовательно, первый столбец нашего «руководства по музыкальной композиции» содержит элементы, обратные элементам основной последовательности, записанной в первой строке:

[0] [9] [10] [7] [8] [4] [11] [2] [1] [3] [5] [6].

ЛЕВИ-СТРОСС: Отлично, мы получили одну строку и один столбец. Мне кажется, я понял, как составить всю таблицу.

Теперь мы можем вычислить интервал, отделяющий ми от каждой ноты в столбце, и транспонировать первую строку так, чтобы структура мелодии не изменилась. Ми отделяют от до-диез девять полутонов. Прибавим этот интервал к каждой из нот в исходной последовательности:

до-диез | ми | ре-диез | фа-диез | фа | ля | ре | си | до | ля-диез | соль-диез | соль

ВЕЙЛЬ: Именно! А чтобы выполнить эту транспозицию, можно повернуть додекафонический круг на девять полутонов или же прибавить [9] к элементам первой строки. Вторая строка латинского квадрата будет выглядеть так:

[9] | [0] | [11] | [2] | [1] | [5] | [10] | [7] | [8] | [6] | [4] | [3]

Выполним аналогичные действия для десяти оставшихся строк.

125

Как вы уже видели, эта таблица содержит ту же информацию, что и таблица

ЛЕВИ-СТРОСС: На основе додекафонической таблицы, подобной той, которую мы только что составили, можно написать такую мелодию:

С одной стороны, на нижнем нотном стане в ключе фа записана основная последовательность нот из первой строки, на основе которых мы получили все остальные ноты. С другой стороны, на верхнем нотном стане записаны две мелодии: первая, состоящая из более низких звуков, соответствует второму столбцу таблицы, вторая, состоящая из более высоких звуков,— первой строке, прочитанной справа налево.

Число возможных вариантов практически бесконечно!

ВЕЙЛЬ: Так сегодня звучит музыка сфер.

ЛЕВИ-СТРОСС: И так мы будем слушать ее до тех пор, пока алгебра не разлучит нас.

126

Конечные абелевы группы с двумя порождающими элементами [1] 1 Автор выражает благодарность Густаво Очоа за помощь в подготовке приложения.