Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

В этом приложении приведено полное доказательство теоремы о структуре конечных абелевых групп с двумя порождающими элементами, которую упоминает Андре Вейль в диалоге с Клодом Леви-Строссом на стр. 73.

Теорема. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, изоморфна либо циклической группе, либо прямому произведению двух циклических групп.

Прежде чем перейти к доказательству, напомним, что такое изоморфизм групп, о котором мы вкратце упоминали на стр. 57.

Пусть G и Н — две группы. Обозначим их групповые операции * и · соответственно. Обозначим нейтральные элементы групп через е Gи е H.

Определение. Гомоморфизм групп G и Н — это функция φ: G → Н, которая каждому элементу g группы С ставит в соответствие элемент φ(g) группы Н (отображение g) так, что при этом...

Если мы найдем отображение результата операции над двумя элементами С, а затем сначала применим φ к каждому элементу, после чего найдем результат операции на Н, то результат в обоих случаях будет одинаков: φ(а * * b) = φ(а) · φ(b).

Приведем два следствия из этого определения. Отображением нейтрального элемента G, заданным функцией ф, должен быть нейтральный элемент Н: ф(е G) = е H.

127

Так как е G* е G= е G, имеем φ(е G) = ф(е G) · ф(е G). Применив закон сокращения (см. стр. 58), мы можем сделать вывод: ф(е G) = е H. Также заметим, что гомоморфизм «сохраняет» обратные элементы: ф(g -1) = ф(g) -1для любого g на группе G.

В самом деле, g * g -1= е G, следовательно, ф(g*g -1) = ф(е G) = е Hв соответствии с доказанным выше. С другой стороны, по определению гомоморфизма ф(g*g -1) = ф(g) · ф(g -1). Из этих двух утверждений следует: ф(g) · ф(g -1) = е H— это равенство по-прежнему будет верным, если мы поменяем местами ф(g) и ф(g -1). Следовательно, ф(g) — обратный элемент ф(g -1).

Гомоморфизмы играют важнейшую роль при сравнении двух различных групп между собой. Особо выделим один частный случай, в котором две группы по своей структуре неразличимы, как, например, симметрическая группа S 3и группа преобразований, оставляющих неизменным равносторонний треугольник (стр. 56). Чтобы выразить эквивалентность структур формально, было введено понятие изоморфизма.

Определение. Гомоморфизм ф: G → Н называют изоморфизмом групп, если выполняются следующие условия.

(1) Инъективность. Если а и b — два различных элемента G, то φ(а) и φ(b) — два различных элемента Н.

(2) Сюръективность. Каждый элемент Н является отображением некоторого элемента G, то есть для любого h группы Н существует такой элемент g группы G, что р(g) = h.

В силу свойств гомоморфизма нетрудно видеть, что инъективность эквивалентна другому условию, которое проще проверить на практике.

(1') Единственный элемент G, который отображение φ преобразует в нейтральный элемент Н, это нейтральный элемент G. Иными словами, если φ(g) = e H, то g = e G.

В самом деле, предположим, что выполняется условие (1) и что φ(g) = e H. Так как р — гомоморфизм, мы знаем, что ф(e G) = е H, следовательно g обязательно должен совпадать с e G— в противном случае два различных элемента будут иметь одинаковые отображения. Посмотрим, что произойдет, когда выполняется свойство

128

(1'). Пусть a и b — два элемента С такие, что φ(а) = φ(b). Мы хотим доказать, что а = b. Сначала применим закон сокращения (см. стр. 58) и перепишем равенство в виде φ(а) *φ(b) -1= е H. Так как φ — гомоморфизм, ф(b) -1совпадает с φ(b -1) и φ(а) · φ( -1) = φ(а * b -1). Следовательно, φ(а * b -1) = e Hи из (1') следует, что а * b -1= e G. Умножив обе части на b, получим, что а = b.

В ходе доказательства полезно отметить: чтобы показать, что данный гомоморфизм двух конечных групп одного и того же порядка (то есть для групп с одинаковым числом элементов) — это изоморфизм, достаточно проверить, что выполняется всего одно из двух свойств (инъективность или сюръективность), и второе будет выполняться автоматически (докажите это утверждение самостоятельно).

Также упомянем следующее предложение.

Предложение. Гомоморфизм ф: С → Н является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует другой гомоморфизм ψ: G → Н такой, что результатом последовательного применения φ и ψ является тождественное преобразование на группе G (то есть преобразование, которое оставляет все элементы С неизменными); это же верно для композиции φ и ψ на группе Н.

Для данного φ функция ψ определяется как функция, которая каждому элементу h группы Н ставит в соответствие единственный элемент g группы G такой, что φ(g) = h.

Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).

Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.

Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.

129

Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <���а> изоморфна прямому произведению циклических групп <���а m> и <���а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.

Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение

φ:→ <���а m> × ,

которое ставит в соответствие элементу а группы <���а> пару ((a m) ui,(a r) vi). Так как а имеет порядок n, получим, что а i= а i+knдля любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для а iи а i+knсовпадают. Для этого заметим, что

(a m) u(i+kn)= (a m) ui(a n) ukm= (a m) uie ukm= (a m) ui

так как а n= е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(а i) = φ(а i+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим

φ(e) = φ(a 0) = ((a m) 0, (a r) 0) = (e, e) = e.

Рассмотрим второе условие:

φ(a ia j) = φ(a i+j) = ((a m) u(i+j), (a r) u(i+j)) = ((a m) ui(a m) uj, (a r) vi(a r) vj) = ((a m) ui(a r) vi, (a m) ui(a r) vi) = φ(a i) φ(a j),

так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.

Для этого заметим, что <���а> и <���а m> х <���а r> — группы одного порядка. В самом деле, элементы а mи а rимеют порядок r и m соответственно, так как