Хавьер Фресан - Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

(а m) r= (а r) m== a mr= a n

а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <���а m> х <���а r> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <���а>.

130

С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(а i) = е следует а i= е. Если φ(а i) — нейтральный элемент, то а mui= а rvi= е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно а i= е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.

Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.

Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде a ib i, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).

Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <���а> × → G, которая ставит в соответствие пару (а i, b i) элементу a ib iгруппы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.

Следовательно, запись а ib iможет быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены а ib i, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.

Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).

Выберем наибольшие степени р и запишем порядок (а) = р em, порядок (b) = р fn, где e и f — два положительных целых числа. Также предположим, что е < f. Обратите внимание, что m и n взаимно простые: если бы они имели общий простой делитель, он также был бы делителем порядков а и b, следовательно, был бы равен р. Это же верно для р eи m, а также для р fи n.

Применив лемму к циклическим группам, порожденным а и b, получим изоморфизмы ≃m> × p r> и ≃n> × p t>. Следовательно: × ≃ m> × p e> × n> × p f>. (*)

131

Рассмотрим три последних множителя, которые имеют порядок m, p fи n соответственно. Так как m и p fвзаимно простые, из леммы следует, что прямое произведение p r> × n> изоморфно циклической группе порядка p fm. Так как n и p fm также взаимно простые, мы можем вновь применить эту лемму и показать, что произведение трех множителей изоморфно циклической группе <���х> порядка p fmn.

Примем у = а m. Порядок этого элемента равен р e. Из формулы (*) следует, что прямые произведения <���а> и <���х> <���у> изоморфны, следовательно, существует сюръективное отображение <���х> <���у> на G. Иными словами, х и у порождают G.

Теперь нетрудно показать, что порядок (х) = p fmn делится на порядок (у) = р e, так как мы предположили, что е < f. Мы доказали следующую лемму [2] 2 На самом деле мы доказали следующий, более точный результат. Пусть С — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами а и b. Пусть порядок (а) = p 1 e 1 ... m p r e r и порядок (b) = p 1 f 1 ... m p r f r , где р — простые числа, e 1 и f 1 — целые неотрицательные числа, m и n — взаимно простые. Следовательно, группа G изоморфна группе, порожденной двумя элементами х и у такими, что порядок (х) = p 1 h 1 ... p r h r , mn и порядок (у) = p 1 g 1 ... p r g r , где h = max(е, f) и g = min(e, f) для всех i = 1,...,r. :

Лемма 2. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами.

Можно выбрать ее порождающие элементы так, что порядок одного будет делителем порядка другого.

Продолжим доказательство.

Согласно предыдущей лемме мы можем выбрать порождающие элементы х и у группы G так, что порядок (у) = l и порядок (х) будет кратным l и равным, к примеру, lk. Все элементы G можно будет записать в виде 0 ≤ i < lk у 0 ≤ у< l, где 0 < i < lk и 0 < j< l.

Если бы две степени порождающих элементов совпадали, эта запись была бы не единственной. К примеру, если бы у 3равнялось х 2, то х 2у 4и х 4у были бы двумя разными способами записи одного и того же элемента. Обозначим через t наименьшее целое положительное число такое, что у tсовпадает с x sдля некоторого целого s. Мы знаем, что t < I, так как у l= е = х lk.

132

В этой новой нотации каждый элемент G можно записать единственным образом в виде x iy j, где 0 < i < lk и 0 < j < t. В самом деле, если бы равенство x iy j= x iy jвыполнялось для какого-либо 0< j' ≤ j < t, то мы получили бы х i'-i= у j-j', или, что аналогично, у j-j'было бы степенью х. Так как j’ — j строго меньше t, эта величина может равняться только нулю, следовательно, j = j' и i' = i, так как х i'-i= е при —lk < i' —i < lk.

Это доказывает, что порядок G равен произведению двух верхних границ показателей степени i и j, то есть lkt.

Обозначим через r порядок элемента у t. Так, е = (у t) r= у tr. Так как у — элемент порядка l, мы знаем, что l ≤ tr. Мы хотим доказать, что l = tr, следовательно, надо исключить случай l < tr. Будем рассуждать следующим образом: если t < tr, то существует целое число u < r такое, что l заключено между tu и t(u + 1), то есть выполняется равенство tu < l < t(u + 1). Обратим внимание на величину t(u + 1) — l.

С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.

С другой стороны, имеем равенства y l(u+1)-l= y t(u+1)(u + i )= x s(u+1), так как у имеет порядок l, и у t= x s.

Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = у t= y lr= x sr.

В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.

Лемма 3. Пусть g — элемент порядка n группы G. Тогда n будет делителем любого целого числа d такого, что g d= е.

Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.