Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

В последующие годы Рашевски занимался теоретической работой и применил теорию множеств и логику высказываний в исследованиях биологических систем. Он изучал различные общества и способы организации живых существ, а также иерархии, которые они образуют. Сегодня ответы на стоявшие перед ним вопросы кажутся очевидными: рассмотрим, к примеру, последовательность молекулы —> клетки —> ткани —> органы —> системы —> индивид —> популяция. Рашевски создал теорию биологических отношений — реляционную биологию, а также ввел понятие «множество организмов». Все эти открытия до недавнего времени оставались незамеченными большинством биологов, которых в основном интересовали полевые исследования или работа в лаборатории. Подлинный размах и возможности теоретического аппарата, терпеливо выстроенного Рашевски, стали очевидны лишь с возникновением так называемой биологии сложных систем. А развитие этой дисциплины, в свою очередь, было бы невозможным без распространения компьютеров.

Наверное, одной из важнейших особенностей первого этапа развития математической биологии, который мы будем дальше называть этапом зарождения биоматематики, стало влияние на нее физики. Это неудивительно, если учесть, что в 1921 году Рашевски преподавал теорию относительности в Праге. Подобно Эйнштейну, посвятившему последние годы жизни работе над «единой теорией», в 1960-е Рашевски пытался создать единую теорию биологии. Он мечтал выразить на языке математики биологические принципы, описывающие жизнь во всех ее проявлениях, будь то растения, животные или микроорганизмы.

Подобно другим физикам того времени, например Шрёдингеру, Рашевски также задавался вопросом: что такое жизнь? К сожалению, полет его фантазии оборвал сердечный приступ в 1972 году, а ответ на этот вопрос до сих пор не получен, хотя со смерти ученого прошло уже много лет.

Австрийская банкнота с портретом Эрвина Шрёдингера(1887–1961), лауреата Нобелевской премии по физике 1933 года и автора книги «Что такое жизнь?», опубликованной в 1944 году и оказавшей огромное влияние на развитие биологии.

В отличие от теоретического направления математической биологии, пионером которого был Рашевски, работы других ученых, например Карла Людвига фон Берталанфи, носили более прикладной характер. Фон Берталанфи родился в Австрии в 1901 году, учился в университетах Инсбрука и Вены, работал в Лондонском университете, различных канадских институтах, а закончил карьеру в Университете штата Нью-Йорк. Он внезапно умер от сердечного приступа в том же 1972 году, что и его коллега Рашевски. Хотя основным вкладом фон Берталанфи в науку стала общая теория систем, о которой мы поговорим позже, ему принадлежат и различные открытия в математической биологии. Так, в 1938 году он сформулировал знаменитое уравнение роста, которое в наши дни применяется в рыбоводческих хозяйствах.

Фон Берталанфи связал размер рыбы L( t ) с ее возрастом t ( L K — максимальный размер, L 0 — начальный размер, k — постоянная роста):

L( t ) = L K — ( L K— L 0 ) e -kt .

Теория эволюции

Эволюция — одна из важнейших тем биологии, которой уделяется большое внимание и в математической биологии с момента ее зарождения в 1930-е годы. В целом эволюция — это физиологические и другие изменения, претерпеваемые живыми существами с течением времени. По прошествии миллионов лет в результате этих изменений, а также изменений окружающей среды одни виды выживают, другие — вымирают.

Известно, что изменения живых существ вызваны определенными биологическими механизмами. Среди всех теорий, известных на сегодняшний день, наибольший успех имела теория естественного отбора Чарльза Дарвина, представленная им в 1859 году, в расцвет викторианской эпохи, в книге «Происхождение видов».

На этой фотографии Чарльз Дарвинизображен в возрасте 51 года, вскоре после публикации своего революционного труда «Происхождение видов».

Согласно теории Дарвина, живые существа, будь то растения, животные или микроорганизмы, представляют собой различные решения задачи адаптации к окружающей среде. Под окружающей средой понимаются различные условия существования, начиная от океанов или озер и заканчивая наземно-воздушной средой. При этом в каждой отдельно взятой среде наблюдается большое разнообразие живых существ: например, джунгли, дубовый лес или пустыня очень отличаются между собой. Согласно Дарвину, чем лучше «решение», которое представляет собой живой организм, точнее биологический вид, тем лучше он приспособлен. А чем выше приспособленность организма, тем больше его шансы на выживание и, следовательно, на достижение репродуктивного возраста. Репродукция, по Дарвину, является наградой: если организму удалось размножиться, гены счастливчика будут переданы следующему поколению.

Но как живые организмы находят новые решения в изменяющейся или неблагоприятной среде? Ответить на этот вопрос помогает генетика. За поиск новых решений отвечают механизмы, случайным образом меняющие генетический код, — мутации.

Чем выше изменение генов в определенных пределах, тем лучше для вида: его представители получают большой набор возможных «решений», который поможет им адаптироваться к будущим изменениям окружающей среды. По Дарвину, окружающая среда отбирает виды, наиболее пригодные для обитания в ней.

Развитие математических методов теории эволюции

В второй половине XIX века, после публикации книги Дарвина, в Великобритании возникла английская биометрическая школа, к которой принадлежали такие видные ученые, как Фрэнсис Гальтон и Карл Пирсон. Представители этой школы впервые применили в биологии методы статистики. Позднее, в 1930 году, Рональд Эйлмер Фишер, внесший огромный вклад в развитие биоматематики и биостатистики, сформулировал основную теорему естественного отбора, в которой дарвиновская теория эволюции путем естественного отбора объясняется на языке математики.

Согласно Фишеру, при определенных условиях и за определенное время t ритм или скорость, с которой повышается средняя приспособленность конкретного вида, равна разнообразию возможных значений генов. Обозначим средний рост приспособленности через ΔW¯ среднюю приспособленность — через W¯ множество возможных значений генов (генных вариаций) — через σ 2 w и получим обычную запись теоремы Фишера в математической биологии: