Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

А + В —> С + D .

Если вещества А и В преобразуются в С и D с той же скоростью, что С и D преобразуются обратно в А и В , то реакция находится в равновесном состоянии. Предположим, что равновесие оказалось нарушено. Если скорость, с которой вещества А и В преобразуются в С и D , не равна скорости протекания обратного процесса, реакция будет находиться в неравновесном состоянии. Общих правил, описывающих неравновесные, диссипативные системы, не существует, как и общего математического метода их изучения, поэтому используется компьютерное моделирование — особенно полезное с учетом того, что в жизни встречается множество примеров диссипативных систем. Описанные выше идеи постепенно сформировали современное видение биологии и, как следствие, способствовали ее математической формализации.

Изучение систем, находящихся в неравновесном состоянии, и поиск вычислительных методов, позволяющих смоделировать подобные системы, стали популярны в 1980-е и 1990-е годы при изучении нелинейных систем, то есть систем, поведение которых нельзя представить как сумму поведений их частей. Основная причина этого в том, что части нелинейных систем взаимодействуют друг с другом. Вновь рассмотрим примитивный живой организм z и предположим, что он имеет всего два органа — х и у . Если поведение этого организма нелинейное, то жизненное состояние организма f( z ) будет равно, к примеру, произведению, а не сумме состояний его органов f( х ) и f( у ). В качестве примера из повседневной жизни можно привести прием лекарств.

Если вы примете два лекарства или более, их совокупный терапевтический эффект не будет равен сумме эффектов отдельных медикаментов. Как правило, они вступают в реакцию между собой, причем часто во вред организму.

Нелинейные системы: их сложно изучить, так как не существует одного математического метода, описывающего их все, хотя их поведение и похоже. К примеру, если мы подтолкнем маятник, он будет совершать колебания до тех пор, пока не остановится. Похожие ситуации наблюдаются в иммунной системе и в долговременной памяти человека.

Любопытная особенность нелинейных систем состоит в том, что их поведение может быть хаотическим. Хаотические системы — это системы, обладающие сложным поведением, которое непросто спрогнозировать, так как они одновременно стремятся к равновесному состоянию и отдаляются от него. К примеру, атмосфера и климат, тектонические плиты, эпилепсия, популяции и многие другие явления, о которых мы расскажем в этой книге, представляют собой хаотические системы и описываются уравнением Ферхюльста. Изучение хаоса стало популярным в биологии благодаря фракталам — их характерным примером в природе является ветвление растений.

В середине 1980-х ученые объединили нелинейные, хаотические и диссипативные системы в одно целое — сложные системы, изучению которых в биологии уделяется наибольшее внимание. К таким системам относятся, например, муравейники, мозг, иммунная система, клетка, морфогенез или экосистемы. В некоторых случаях сложные системы изучаются с применением стандартных методов математической биологии. Однако некоторые системы настолько сложны, что изучить их можно только альтернативными компьютерными методами, позволяющими найти лишь приближенные решения. Такие методы называются эвристическими. К примеру, в настоящее время метод клеточных автоматов является одной из альтернатив моделированию сложных систем, для которых неизвестны описывающие их дифференциальные уравнения. Классический пример клеточного автомата — колония муравьев. В некоторых случаях, несмотря на то что дифференциальные уравнения, описывающие систему, известны (например, в случае с пятнами на коже позвоночных), поведение системы быстрее и удобнее смоделировать с помощью клеточных автоматов. Кроме того, клеточные автоматы позволяют наглядно изобразить узоры, к примеру полоски зебры, что при использовании дифференциальных уравнений невозможно. Еще одним примером служит клеточный автомат Ва-Top, описывающий модель «хищник — жертва» Лотки — Вольтерры.

В этой главе мы коротко обрисовали основные этапы развития математической биологии. Обратите внимание, что не только зарождение, но и последующее развитие этой дисциплины неизменно находилось под большим влиянием преобладавших на тот момент физических интерпретаций жизни. Более того, математическая биология — это дисциплина, которая способствовала тщательному анализу биологических явлений и экспериментальных данных. Сегодня одним из самых важных достижений математической биологии являются математические модели, позволяющие проводить с помощью компьютера сложные эксперименты.

Человек всегда испытывал потребность понимать, контролировать и предсказывать поведение всего сущего. Для этого ученые всех времен и народов создавали модели окружающего мира, то есть представления или абстракции некоторой системы или явления.

Модель обладает несколькими полезными свойствами. С одной стороны, она позволяет понять и объяснить то или иное явление — в качестве примера можно привести модель клеточного цикла или метаболизма глюкозы. С другой стороны, что особенно важно, она позволяет предсказать состояние или поведение изучаемой системы в будущем: это может быть прогнозирование климата или описание какой-либо гипотетической ситуации, например воздействия аварии на атомной электростанции на флору и фауну региона.

Также компьютерное моделирование позволяет ученым проверить те или иные гипотезы. К примеру, можно провести эксперимент, опровергающий гипотезу о происхождении жизни или позволяющий рассмотреть механизм эволюции конкретного вида. Модель может использоваться и для того, чтобы вдохновить, например, группу инженеров на поиски решения задачи. В любом случае построение моделей очень важно как в силу их практической ценности, так и из-за того, что моделирование — единственный способ, который позволяет постепенно выстроить картину окружающего мира.

В биологии, как и в других науках, наиболее полезны математические модели: они в абстрактной форме представляют систему или явление с использованием языка и формальных средств математики. К примеру, в модели клетки, сердца или экосистемы составные части объекта и взаимодействие между ними представлены математическими выражениями. Эти выражения связывают множество входных переменных I 1, I 2 , …, I n и выходную переменную О . Входные переменные обозначают величины, которые можно наблюдать (и измерить) в ходе эксперимента. Обычно одна из этих переменных — время, t . Она обозначает момент времени, в который были получены входные значения I 1( t ), I 2( t ), …, I n( t ). Как только эти значения определяются экспериментально или любым другим способом (например, на основе каких-либо теоретических предпосылок), они вводятся в модель. Используя математические выражения модели, ученый определяет значение выходной переменной O(t), которое отражает какое-либо свойство системы. Обычно этим свойством является состояние или поведение системы в определенный момент времени t .