Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— Мне кажется, — сказал, немного помолчав, Илюша, — что я чуть-чуть разобрался в том, что ты мне рассказывал об интегрировании. Но не можешь ли ты дать какой-нибудь пример того, как это все делается на практике?

— Отчего же! — сказал Радикс. — Это не так трудно, если только у тебя хватит терпения сперва прослушать маленький рассказ насчет очень полезного предмета, который, к сожалению, слишком редко вспоминают при математических объяснениях, то есть насчет шахматной доски, или, как говорили в старину, шашечницы.

— С удовольствием, — сказал Илюша. — Я люблю играть в шахматы. Мы очень часто играем с папой, и когда он мне дает ладью вперед, так я даже и выигрываю.

— Видишь ли, — начал Радикс, — при помощи шашечницы очень удобно производить некоторые суммирования. Но только мы не будем обязательно устанавливать, сколько у нас полей на шашечнице, ибо для наших целей необязательно, чтобы их было шестьдесят четыре. Будем считать, что доска имеет n вертикальных и горизонтальных полос, а следовательно, n 2меток. Установим сперва два способа сложения чисел, которые мы будем писать в клетках доски. Первый способ будем

— 348 —

называть сложением «по прямым». При этом способе мы будем складывать сперва все числа данной полосы (ну, например, если бы сложили все восемь чисел, написанных на седьмой полосе, если считать снизу), а затем сложим и все их суммы. Второй способ мы будем называть сложением «по гномонам». В этом случае мы будем поступать так: первым слагаемым будет одно число из верхней левой клетки (шахматисты называют эту клетку « а 8»), вторым — сумма чисел в клетках вертикальной полосы « b » и горизонтальной полосы седьмой вплоть до их пересечения (клетка b 7) и включая оное (то есть клетки b 8, b 7 и а 7). Всего во втором слагаемом будет, значит, три клетки. Третье слагаемое состоит из пяти чисел, находящихся в клетках вертикальной полосы « с » и в клетках горизонтальной полосы шестой до их пересечения (клетка с 6) и опять-таки включая оное (то есть клетки с8, с 7, с 6, b 6 и а 6).

Все остальные слагаемые составляются по тому же принципу (затем, очевидно, пойдет гномон с клеткой пересечения « d 5», затем « е 4» итак далее). Теперь приступим к самому счету. Начну с того, что напишу в каждой клетке по единице. Если их считать «по прямым», то в каждой полосе будет n . А полос во всей доске тоже n . Ясно, что на всей доске получится n 2. Но теперь попробуем считать «по гномонам». Получим:

1; 2 + 1; 3 + 2; …; n + ( n -1).

Сумма всех этих чисел будет, очевидно,

1 + 3 + 5 + … + 2 n— 1.

Приравнивая сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:

1 + 3 + 5 + … + 2 n — 1 = n 2,

то есть сумма и нечетных чисел равна n 2. Как будто недавно мы с тобой уже встречались с этим вавилонским равенством?

— Встречались, — отвечал Илюша.

— Прелестно! — обрадовался Радикс. -Хорошо, что ты не забыл об этом. А теперь далее. Я напишу в каждой горизонтальной полосе числа от единицы до n , то есть

1, 2, 3, 4, 5, … , n ,

и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе

( n + 1) n / 2,

— 349 —

по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна

( n + 1) n 2/ 2

Теперь рассмотрим, каковы будут суммы «по гномонам». Ясно, что сумма чисел энного гномона будет

n 2+ (1 + 2 + 3 + … + n -1).

Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:

n 2+ n ( n + 1) / 2

и окончательно:

⅔ n 2— (1/2) n

Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2, 3… и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:

3/2 ·1 2— 1/2 ·1

3/2 ·2 2— 1/2 ·2

3/2 ·3 2— 1/2 ·3

………

………

3/2 · n 2— 1/2 · n

Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:

3/2 · S 2— 1/2 · S

где S 2есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S — сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:

3/2 · S 2— 1/2 · S = n 2( n + 1) / 2

— 350 —

а отсюда определяю, чему равняется S 2и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:

S 2= (2 n + 1)( n + 1) n / 6.

Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:

y = х 2,

и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b , то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b .

Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет

h = b / n

Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b / n , а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как

h 2, 2 2 h 2, 3 2 h 2, … , n 2 h 2,

ибо ясно, что если х равен h , то у будет равен h 2и так далее.

Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны

hh 2, h 2 2 h 2, h 3 2 h 2, … hn 2 h 2.