Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— Весьма вероятно! — подхватил Мнимий. — И увидите,

— 401 —

наверно, еще не раз. Это ведь не так трудно проверить. Допустим, что наш единичный вектор наклонен к положительному направлению действительной оси под углом в сорок пять градусов. Тогда его косинус, то есть его проекция на действительную ось, равен…

— … половине корня из двух. Такой же и синус будет.

— Давайте умножим такой вектор на самого себя.

Илюша взял мел и перемножил

— Получилось одно i , — сказал Илюша в некотором недоумении. — Что это за вектор, у которого только одно i осталось?

Затем Илюша внимательно посмотрел на чертеж.

— А-а! — сказал он. — Понял! Это единичный вектор, направленный прямо по мнимой оси. Единичный он потому, что около i стоит множителем единица. А так как мнимая ось перпендикулярна к действительной, то, значит, этот вектор образует с ней угол в девяносто градусов. И выходит, что действительно угол удвоился.

— А вектор?

— А вектор повернулся против часовой стрелки на сорок пять градусов. А если еще раз умножить? Можно, я попробую?

— Сделайте ваше одолжение! — отвечал Мнимий.

Илюша умножил еще раз. Вышло:

— Что-то я не пойму, — сказал Илюша.

Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, и, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.

OA= 1;

AB = sin α;

OB= cos α

— А ведь верно! — сказал Илюша.

— Ну вот. Половина дела сделана, — сказал, улыбаясь, Мнимий. — Теперь вы поняли, почему мы можем так поворачиваться вокруг начала координат. А теперь

— 402 —

решим обратную задачу. Что значит извлечь корень из комплексного числа? Поскольку возведение в степень и извлечение корня суть обратные действия, мы можем считать, что и в области комплексных чисел остается в силе определение корня как обратного действия. А если это так, то как теперь извлечь корень из единичного комплексного вектора?

— Мне кажется, что раз при возведении в степень углы умножаются, то, — продолжал Илюша, — это похоже на действия со степенями. А значит, при извлечении корня углы векторов делятся. Так?

— Молодчина! — отвечал Мнимий.

— Но только как же тогда я, извлекая из одного единственного i корень, получу такое выражение:

хотя как раз так и должно быть, потому что, когда я возводил это выражение в квадрат, то получил i ?

— Очень просто, — сказал Мнимий, — стоит только эго «одно-единственное i » написать в виде комплексного числа:

0 + i · 1.

А это можно изобразить и так:

cos φ + i sin φ ,

то ясно, что φ равен девяноста градусам. Поделите φ пополам, и все будет в порядке. Заметьте кстати, дружок, что если вы еще раз возведете в квадрат, то как раз и получите:

i 2= cos 180° + i ·sin 180°.

Наше чудесное равенство i 2= —1, таким образом, означает, что, повернув вектор дважды на прямой угол, вы повернете его в итоге на сто восемьдесят градусов, то есть переведете его в вектор противоположного направления. Но тут есть еще одно весьма важное обстоятельство. Ведь вы, наверно, помни-

— 403 —

те, что извлечение квадратного корня для вещественных чисел есть операция двузначная, то есть дает два ответа: один с плюсом, а другой с минусом. Как же это отразится в нашей комплексной области? Ясно, что если вектор повернется на целый круг, то он снова попадет на старое место…

Вектор немедленно плавно проплыл целый круг, двигаясь вперед против часовой стрелки, и застыл опять на старом месте. Постояв так минутку, он снова проплыл целый круг в том же направлении и снова остановился на старом месте. А затем повернулся так же еще в третий раз.

— Ясно? — спросил Мнимий.

— Как будто ясно, — сказал Илюша. — К чему он это показывает?

— А вот к чему. Очевидно, что комплексное число не изменит своего значения, если угол вектора, или, как мы говорим, его аргумент, увеличить на 2 π , то есть на триста шестьдесят градусов, или на величину, кратную последней. Другими словами, число (cos φ + i sin φ ) и число [cos ( φ + 2 π ) + i sin ( φ + 2 π )] отличаются только начертанием, а геометрически это одно и то же.

— Конечно, — отвечал Илюша.

— Так вот, если теперь мы извлекаем из единичного комплексного числа корень, скажем, второй степени, то возьмем это комплексное число в двух написаниях, то есть:

I) cos φ + i sin φ ,

II) cos ( φ + 2 π ) + i sin ( φ + 2 π ),

и из каждого извлечем квадратный корень путем деления его аргумента на два. Если мы это проделаем с тем же самым комплексным числом, то будем иметь:

I) cos 90° + i sin 90°,

II) cos 450° + i sin 450°.

Прибавлять еще по 2 π здесь, как вы увидите, уже нет смысла, так как новых результатов не получится. Рассмотрим, что выйдет при делении угла пополам. Во-первых, мы получили тот же единичный вектор с углом в сорок пять градусов, который уже видели, а кроме того, еще получился другой вектор с аргументом

— 404 —

в двести двадцать пять градусов. Это и есть второе значение корня. Заметьте, что эти два вектора делят окружность пополам. Ну вот, теперь все ясно, и мы можем приступить к нашей работе.

Этот круг единичного радиуса для изготовления нашей Златоиссеченной Звезды надлежит разделить на пять частей. Это все равно, что решить уравнение

х 5— 1 = 0

или найти все пять корней пятой степени из единицы. Мы уже решали при прошлой нашей встрече в Схолии Седьмой нечто в этом роде, разлагая на множители разность кубов x 3— 1. Приступая к извлечению всех корней пятой степени из единицы, мы попросим нашего друга Вектора нам их найти.