Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Ну-ка! Против часовой стрелки кругом марш!

Вектор стал сперва на нуль, затем повернулся и стал примерно на половине второго квадранта круга. Потом начал поворачиваться далее и остановился в начале четвертого квадранта. Затем двинулся снова вперед и остановился в первом квадранте. Двинулся еще раз и остановился в третьем квадранте.

— Трудно понять! — сказал со вздохом Илюша.

— Не так уж трудно, — отвечал Мнимий Радиксовнч. — Стоит для этого только рассмотреть, как меняется наш аргумент. Он будет:

φ = 0; 2 π ; 4 π ; 6 π ; 8 π ,

то есть мы прибавляем к нулю четыре раза по 2 π , или по триста шестьдесят градусов. А теперь какие векторы получатся после деления аргумента? А вот они:

I) cos 0° + i sin 0° ( φ = 0°)

II) cos 2/5 π + i sin 2/5 π ( φ = 144°)

III) cos 4/5 π + i sin 4/5 π ( φ = 288°)

IV) cos 6/5 π + i sin 6/5 π ( φ = 432°)

V) cos 8/5 π + i sin 8/5 π ( φ = 576°)

— 405 —

Очевидно, что углы их будут: 0°, 72°, 144°, 216° и 288°. Мы попросим теперь Вектора повторить его путешествие по кругу и останавливаться каждый раз у всякого деления.

Вектор исполнил все, что ему велели. При этом вместо одного вектора их оказалось пять. Окружность была разделена ровно на пять частей.

— Теперь проведем прямые! — сказал Мнимий.

Он соединил точки прямыми, и получился правильный пятиугольник, вписанный в круг. Тут Илюша вспомнил, как ему говорили, что если разложить разность кубов на три множителя, то тем самым выяснится, как вписать треугольник в круг. Вот, оказывается, в чем дело!

— Кстати, — добавил с мягкой улыбкой Мнимий, — заметьте, что именно великий Гаусс указал и нашел, что такое деление круга связано с построением правильных многоугольников!

— Вон как! Это, значит, важное дело?

— А как вы думаете! — рассмеялся Мнимий. — Однако, — произнес он, осмотрев еще раз свой чертеж. — Пожалуй, придется немного увеличить, да надо еще наш пятиугольник повернуть, чтобы и он стал симметрично. Ну-ка, ребятки-векторы, увеличьтесь разика в два с половиной да, кстати, повернитесь на восемнадцать градусов!

Немедленно все пять векторов вытянулись и стали длиннее в два с половиной раза. Вместе с ними, конечно, увеличился пятиугольник и повернулся на 18°. В то же мгновение «Круг № 1» стал «кругом № 2».

— Это, — пояснил Радикс, — тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент — восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.

— Совершенно справедливо! — отвечал Мнимий. — Преобразования подобия — это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед-Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?

— Ну да, помню, — отвечал Илюша. — А что?

— Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?

— Как так?

— 406 —

— Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель — превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.

— Вот как?.. — задумчиво произнес сбитый с толку Илюша. — А если наоборот, из мыши сделать льва?

— Вон чего захотели! — засмеялся Мнимий. — Это будет немного потруднее. Сам Галилей это признал. Дело в том, что если мышь подобно преобразить в такого большого зверя, как лев, то она… сломается! Ее тонкие косточки не выдержат тяжелого веса. Механическое подобие — вещь совсем не простая… Ну, а теперь приступим к сооружению Златоиссеченной Звезды. Соединим прямыми противолежащие точки.

Когда Мнимий начертил это, то в круге получился звездчатый пятиугольник. И все векторы исчезли.

— Позвольте, — воскликнул Илюша, — да ведь это наша Красная Звезда!

— Она же и Золотая, — улыбаясь, ответил Мнимий.

— Ну да, и Золотая! Но вы-то почему ее называете Златоиссеченной?

— Для этого, — ответил Мнимий, — у нас имеются серьезные причины. Если мы рассмотрим нашу звезду повнимательнее, то найдем в ней немало вещей, в высшей степени глубоких и поучительных.

Мнимий расставил буквы у углов и получил чертеж, который нарисован на этой странице.

— Если мы возьмем одну из прямых, — начал Мнимий, — составляющих наш звездчатый пятиугольник, например прямую BGFE , то ясно из чертежа, что отрезки BG и FE равны между собой, ибо треугольники BGA и AFE равны. Теперь мы назовем каждый из этих отрезков буквой у , а отрезок KF буквой z . Очевидно, что и остальные схожие отрезки таковы же, то есть GA , FA , FE , КЕ , ID , IС , … , и все они

— 407 —

равны у . Совершенно так же FG , KI , IH … равны z . Ясно, что треугольник GAF равнобедренный. Угол при вершине А ранен одной пятой ста восьмидесяти градусов, так как он вписанный и опирается на дугу, равную одной пятой окружности. Ясно?

— Ясно, — отвечал Илюша.

— Следовательно, в этом углу ровно тридцать шесть градусов. Другие два угла треугольника равны друг другу и, следовательно, будут по семьдесят два градуса, то есть вдвое больше угла при вершине А . Стало быть, величины у и z суть боковая сторона и основание равнобедренного треугольника, у которого угол при основании вдвое больше угла при вершине. Теперь мы займемся треугольником BFA . Угол при вершине F нам известен: он равен семидесяти двум градусам. Угол при вершине В по тем же основаниям, что и угол A в треугольнике GAF , равен тридцати шести градусам. Угол треугольника BFA при вершине А равен семидесяти двум градусам, ибо это вписанный угол и опирается на дугу в дне пятых окружности. Ясно, что и этот треугольник тоже равнобедренный, а в силу равенства углов подобен предыдущему. Сторона BF равна (z + у) , а следовательно, сторона АВ тоже равна ( z + y ), а это ведь сторона выпуклого пятиугольника. Теперь возьмем третий треугольник — ABD . Угол при вершине D равен снова тридцати шести градусам. Треугольник этот тоже равнобедренный и подобен двум предыдущим. Его боковая сторона равна (2 y + z ), основание равно ( у + z ). Из этих величин и подобия треугольников мы получаем теперь следующие пропорции: