Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

— 115 —

— Был такой волшебник математик в тринадцатом веке, и книга его действительно носит такое странное название.

Квадраты эти иногда называют «серебряными», так как в старину некоторые чудаки так их любили, что вырезали их на серебряных дощечках и были уверены, что эти квадраты прекрасное предохранительное средство против чумы. Европейцы узнали их из сочинения ученого византийца Мосхопулоса, который жил в четырнадцатом веке. Но на Востоке их знали много раньше, чем была написана книга Чу-Син-Чьена. Магические квадраты были найдены на стене развалин одного индийского храма, построенного в одиннадцатом веке. Арабы писали о них в девятом веке. А потом ими занимались многие, включая Ферма.

— А ну-ка, — воскликнул мальчик, — я попробую найти еще одно решение этой головоломки!

И довольно быстро Илюша получил его.

— Вот еще! — сказал он весело. Но, присмотревшись, добавил: — Впрочем, это тот же самый квадрат, который у меня получился в первый раз, только переставленный. Левый столбец, начиная снизу, стал третьей строчкой, средний столбец сделался второй строчкой, третий — первой.

Тут Илюша случайно взглянул в зеркало и увидел, что там его квадрат отражается еще по-иному [10] Есть книга по этим вопросам: М. М. Постников. Магические квадраты. М., «Наука», 1964. .

— А вон, — весело воскликнул Илюша, — в зеркале еще решение! Ну-ка, я попробую теперь с большим Дразнилкой.

Но с большим Дразнилкой Илюша застрял основательно. Он высчитал, что должна получиться сумма столбца или строки, равная 34. Однако задачка оказалась довольно головоломной. Все-таки наконец он одолел этот упрямый квадратик. Его столбцы или строки тоже можно было переставлять и ловить отражение в зеркале со всех четырех сторон. Кроме того, оказалось, что если магический квадрат вращать вокруг точки, находящейся между четырьмя средними шашками, то есть вокруг центра коробочки, поворачивая каждый раз на 90°, то можно получить еще несколько квадратов. При первом повороте магического квадрата на четверть круга в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, первая строка

— 116 —

превращалась в первый столбец, поворачиваясь так, что последняя ее шашка становилась верхней шашкой первого столбца, и так далее…

— Все-таки долго делать! — сказал Илюша. — А что будет, если взять квадрат побольше? Например, в двадцать пять клеток или в тридцать шесть. Совсем пропадешь!

— Как ты скоро пропадаешь! — отвечал Радикс. — Есть несколько способов составлять такие квадраты. Вот, например, как строится серебряный квадрат с нечетным числом клеток по старинному индийскому способу. Представь себе, что твой квадрат со всех сторон окружен такими же квадратами; их всего будет восемь, то есть к каждой стороне твоего квадрата приставлен такой же квадрат и к каждому его углу тоже. Начинаешь ты с того, что ставишь единицу в среднюю клеточку первой строки. Затем дальше ты всегда двигаешься по диагонали снизу вверх и, следовательно, слева направо. Если пойдешь по диагонали от единицы, ты попадаешь в тот приставной квадрат, который стоит сверху, и двойка попадает на его последнюю строку. Ты ее сейчас же переносишь в ту же самую клетку основного квадрата. Затем опять идешь по диагонали. Если ты снова попадешь в приставной квадрат, то опять переносишь цифру в соответствующую клеточку основного квадрата. Если же, когда ты двигаешься по диагонали или переносишь цифру из приставного квадрата в главный, попадаешь в клеточку, которая уже занята, то ты ставишь эту цифру как раз под той же клеточкой, которую только что заполнил. Для тройного квадрата ты получаешь то, что нарисовано на этой странице.

Илюша попробовал сделать по этому способу серебряный квадрат с двадцатью пятью клетками и убедился, что индийский способ очень прост [11] АЛ-I, XI. . Он отодвинул бумажку с цифрами и сказал:

— А все-таки хорошая книжка про мушкетеров! Он был молодчина, этот Арамис! Двести семьдесят семь пушечных ядер!..

— Положим, — заметил Радикс, — не двести семьдесят семь, а двести семьдесят шесть.

— Хм… — задумчиво протянул Илюша. — Ну, пусть двести семьдесят шесть. Это не так важно. На единицу больше, на единицу меньше…

— 117 —

— Значит, в таком случае, ты но будешь спорить, когда тебе скажут, что одиннадцать равно двенадцати? Там ведь тоже на единицу разница.

— Ну, это совсем другое дело!.. Но я вот про что. А как он собирался быть пушечным ядром и сражаться сразу с двенадцатью врагами со всех сторон? Я что-то не пойму.

— Он был человек военный, — отвечал Радикс, — и, конечно, любил вспоминать о ядрах. Попробуй-ка сообразить: когда ядра уложены на земле в кучу, со сколькими ядрами соприкасается каждое ядро, лежащее внутри кучи?

— Я где-то видел такую кучу, — припомнил Илюша, — кажется, во фруктовом магазине… Значит, я — ядро и лежу внутри кучи ядер. А все соседи нападают на меня. И сверху, и снизу, и со всех сторон! Сколько же их будет?.. Постой-ка! Ведь наверху лежит только одно ядро?

— Одно.

— Хорошо. Мне кажется, что об этом очень трудно рассуждать…

— Постой! — перебил его Радикс. — А если я тебе предложу несколько превосходных ядер?

Илюша обернулся и увидел, что на полу уже лежит ровная треугольная куча ядер. Ему показалось, что теперь он уже не запутается.

— Значит, — сказал он, — наверху одно ядро. Так! Теперь я его снимаю. Сколько во втором слое? Куча ядер треугольная, следовательно, и каждый ее слой — треугольник. Так?

— Конечно.

— Следовательно, самый малый треугольник, на котором лежит верхнее ядро, составлен из трех ядер. В нем есть только одна-единственная лунка, и в ней-то и лежало верхнее ядро. Теперь следующий слой, третий. Сбоку у него с каждой стороны по три ядра. Конечно, этот второй ядерный треугольник тоже равносторонний, и сторона его равняется трем ядрам. В нем всего шесть ядер. Как он устроен? Очень просто. Взят второй слой из трех ядер, и к нему добавлено с одной стороны еще три ядра. В этом третьем слое есть четыре лупки, но из них идут в дело только три, потому что для четвертого ядра уже места нет. Теперь четвертый слой. Он получается из третьего путем добавления с одной из сторон еще четырех ядер. В нем всего десять ядер и девять лунок, по заняты только шесть — для остальных трех ядер нет места.

— Расскажи-ка мне подробно про эти лунки, — предложил Радикс.