Георг Гегель - Наука логики. С комментариями и объяснениями

В основе этого отношения еще лежит внешний характер определенного количества; здесь относятся друг к другу именно безразличные определенные количества, т. е. они имеют свое соотношение с самими собой в таком вовне-себя-бытии. Отношение есть тем самым лишь формальное единство качества и количества. Диалектика отношения состоит в его переходе в их абсолютное единство, в меру.

Мера – не просто математический, а общенаучный термин, важный для целого ряда математических программ (к примеру, для исследования разных видов бесконечности Георгом Кантором или свойств чисел – Николаем Бугаевым, отцом писателя Андрея Белого). Число понимается здесь как количественное приращение (1 – это 0, выросший на 1), а мера – как реализация потенциала роста числа (2 – это мера счета пар, но также мера того, что 0 может вырасти не только на 1, но и еще на 1). Противопоставление числа и меры встречается также в модернистских и авангардных теориях искусства как структурирующего элемента реальности, например, у Велимира Хлебникова и Василия Кандинского.

В. НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ ВЕЛИЧИНА

1. Количество содержит оба момента – непрерывность и дискретность. Оно должно быть положено в обоих моментах как в своих определениях. Оно уже с самого начала их непосредственное единство, т. е. само оно прежде всего положено лишь в одном из своих определений – в непрерывности, и есть, таким образом, непрерывная величина.

Дискретность — членимость на отличаемые друг от друга отрезки. Для Гегеля важно, что дискретность – это не просто разложимость, скажем, числа 5 на пять единиц, но то, что она не требует противопоставления получившихся отрезков: единицы мало того, что обладают одинаковой «единичностью», но равно оказываются единицами числа 5.

Или, иначе говоря, непрерывность есть, правда, один из моментов количества, которое завершено лишь вместе с другим моментом, с дискретностью, однако количество есть конкретное единство лишь постольку, поскольку оно единство различенных моментов. Последние следует поэтому брать также и как различенные; мы должны, однако, не вновь разлагать их на притяжение и отталкивание, а брать их согласно их истине, каждый в его единстве с другим, т. е. так, что каждый остается целым. Непрерывность есть лишь связное, сплошное единство как единство дискретного; положенная так, она уже не есть только момент, а все количество, непрерывная величина.

Согласно истине — это выражение часто означает у Гегеля просто «как есть», но с оттенком того, что мы не в момент взятия, но ранее убедились, что будет именно так. Скажем, число π мы не можем взять «как есть», так как оно неисчислимо до конца, но можем взять «согласно истине», ибо заранее знаем, что им измеряется отношение длины окружности к длине диаметра.

2. Непосредственное количество есть непрерывная величина. Но количество не есть вообще нечто непосредственное. Непосредственность – это определенность, снятость которой есть само количество. Последнее следует, стало быть, полагать в имманентной ему определенности, которая есть «одно». Количество есть дискретная величина.

Дискретность подобно непрерывности есть момент количества, но сама она есть также и все количество, именно потому, что она момент в последнем, в целом и, следовательно, как различенное не выступает из этого целого, из своего единства с другим моментом. – Количество есть бытие-вне-друг-друга в себе, а непрерывная величина есть это бытие-вне-друг-друга как продолжающее себя без отрицания, как в самой себе равная связь. Дискретная же величина есть эта внеположность как не непрерывная, как прерываемая. Однако с этим множеством «одних» у нас снова не получается множество атомов и пустота, вообще отталкивание. Так как дискретная величина есть количество, то сама ее дискретность непрерывна. Эта непрерывность в дискретном состоит в том, что «одни» суть равное друг другу или, иначе говоря, в том, что у них одна и та же единица. Дискретная величина есть, следовательно, внеположность многих «одних» как равных, не многие «одни» вообще, а положенные как «многие» некоторой единицы.

Дискретность непрерывна – Гегель говорит не только о непрерывном прибавлении, как 1+1+1…, но и о непрерывном соотношении дискретных единиц в любом уравнении, будь то 2*2=4, или 5+18*20=365).

ОПРЕДЕЛЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО

Определенное количество, квант – прежде всего количество с некоторой определенностью или границей вообще – есть в своей совершенной определенности число. Определенное количество делится, во-вторых, прежде всего на экстенсивное определенное количество, в котором граница дана как ограничение налично сущего множества, а затем, когда это наличное бытие переходит в для-себя-бытие, на интенсивное определенное количество, градус, которое, как «для-себя» и в последнем как безразличная граница столь же непосредственно вовне себя имеет свою определенность в некотором ином. Как это положенное противоречие, – быть таким образом определенным просто внутри себя и вместе с тем иметь свою определенность вовне себя и указывать на нее вовне себя, – определенное количество, в-третьих , как в самом себе внешне положенное переходит в количественную бесконечность.

Экстенсивное и интенсивное — эти термины Гегель употребляет не в смысле «расширяющееся вовне» и «расширяющееся в собственную глубину», известном из экономической теории («экстенсивное освоение ресурсов» против «интенсивного освоения технологий»), но в этимологическом значении «напряженный вовне» и «напряженный внутрь». Скажем, натуральное число экстенсивно не потому, что его можно умножить и сделать большим, но потому что оно может быть приложено к любому такому же количеству предметов: числом 5 можно обозначить 5 человек, 5 яблок, 5 собак и т. д. Тогда как синус, косинус или тангенс интенсивен, поскольку направлен только на собственные нужды обозначения свойств угла и раскрывает нам те числовые отношения, которые с самого начала были специфицированы.

Слово градус Гегель применяет как в смысле «степень» (возводить в степень), так и в смысле любых числовых выражений геометрических и тригонометрических закономерностей.

А. ЧИСЛО

Количество есть определенное количество или, иначе говоря, имеет границу и как непрерывная, и как дискретная величина. Различие этих видов не имеет здесь сначала никакого значения. Количество как снятое для-себя-бытие уже само по себе безразлично к своей границе. Но тем самым ему также не безразлично быть границей, или определенным количеством; ибо оно содержит внутри себя «одно», абсолютную определенность, как свой собственный момент, который, следовательно, как положенный в его непрерывности или единице, есть его граница, остающаяся, однако, «одним», которым она вообще стала.