Знание-сила, 2007 № 11 (965)

В этом, собственно, и состоят достоинства (и недостатки) того союза, которые физика заключила с математикой. Этот союз создался, по-видимому, постепенно, во времена между Галилеем и Ньютоном. Во всяком случае, Галилей еще любит рассуждать о ненужных (с современной точки зрения) вопросах, да и Ньютон, непонятно зачем, предпочитает подкреплять решение уравнений (он же творец математического анализа!) геометрическими доказательствами. Даже Максвелл, как говорят немногие энтузиасты, читавшие его труды, снабжал свои уравнения электромагнитного поля какими-то, мягко говоря, странными модельками из шестеренок и колесиков, лучше иллюстрировавшими, по его мнению, суть дела.

Современные физики совсем распоясались и позволяют себе мыслить предельно абстрактно, часто просто напрямую оперируя уравнениями. Точнее, обычно физик как-то представляет себе, скажем, электрон, но вовсе не настаивает на том, что именно этот зрительный образ правильный и окончательный. Например, очень полезно представлять себе атомное ядро в виде капли жидкости. Это позволило достичь нетривиальных результатов в ядерной физике. Однако психически нормальный человек отдает себе отчет в том, что атомное ядро и капля воды — разные вещи. В этой связи вспоминается анекдот с аспирантских экзаменов. «Некая аспирантка излагала модель атома Бора, в которой электроны движутся вокруг атомного ядра по стационарным орбитам. Ее в шутку спросили, что находится между орбитами, на что она, не смутившись, ответила: «Воздух!» (на самом деле в рассматриваемых масштабах представление о сплошной среде вроде воздуха просто утрачивает смысл).

Подобный подход позволил решить огромное количество задач (результаты их решения встречаются буквально на каждом шагу, например, я пишу на компьютере и езжу на работу на метро), однако за это достижение пришлось дорого заплатить. Есть еще один известный анекдот. «Экзаменующийся отвечает на билет про электричество и говорит: «Профессор! Я только что знал, что такое электричество, но забыл». — «Я немедленно поставлю вам пятерку, как только вы это вспомните, до сих пор никто не знает, что такое электричество». Это, что называется, не в бровь, а в глаз. С определением основных физических понятий дело обстоит, с точки зрения логики, из рук вон плохо. Что такое сила? В учебнике написано, например, сила — причина движения. В переводе на русский язык это значит, что сила — то, что написано в левой части второго закона Ньютона. Не очень содержательно, да и откуда эту силу брать? На практике это означает, что физика — логически незамкнутая наука. Кроме динамики Ньютона (или Эйнштейна — это сейчас не важно), в ней есть еще многие разделы, откуда в каждом конкретном случае и приходится брать формулу для силы. Невозможно себе представить Аристотеля, излагающего эту невразумительную рекомендацию, а она работает — и отлично работает — многие столетия!

Конечно, между так неясно очерченными основными понятиями физики и основными понятиями математики есть очевидная перекличка. Никто не знает не только, что такое электричество, но и что такое прямая. Лучше сказать, на вопрос, что такое прямая, отвечают описанием ее свойств (они фиксируются в аксиомах). Однако позиции физика и математика здесь во многом различны. Математик обещает сначала сформулировать все свойства прямой, а только потом их использовать. Это пообещал в древности Эвклид, правда, реально это удалось только Гильберту на рубеже XX века. Физик же, как карточный шулер, все время вынимает из рукава, как козырные тузы, новые свойства своих конструкций. Математик декларирует, что он больше всего интересуется логической стройностью своей теории, а что она значит на практике, не так уж и важно. Физик, наоборот, подчеркивает, что чем проще объяснение, тем лучше, а уж строгое оно или основано на эвристических доводах — дело десятое.

Физик все время стремится по-разному подойти к своей задаче, интерпретировать ответ то с одной, то с другой точки зрения. Математик говорит: я доказал эту теорему, так к чему теперь ее доказывать еще раз другим способом (как будто нет книжек типа «101 доказательство теоремы Пифагора»!). По этому поводу тоже есть исторический анекдот. «Великий математик XX века Андрей Николаевич Колмогоров начинал как историк. Он изучал какой-то тонкий вопрос о правовой системе средневекового Новгорода и открыл нечто интересное, по словам специалистов, до сих пор. Он сделал доклад на соответствующем научном семинаре, и ученые мужи сказали: «Отлично, юноша! Докажите ваш вывод еще тремя способами, и в него поверят». Он обиделся и ушел в математику, где результат достаточно доказать только один раз. Математика от этого выиграла. Выиграла или проиграла история, мы никогда не узнаем».

Но правда ли то, что математика так уж намного более логична, чем физика? И да, и нет. Конечно, в физике есть много рассуждений, которые выживают только благодаря ссылке на результаты эксперимента и которые не допустит ни один математик. Однако только вчера я объяснял студентам, что дифференциальные уравнения — совершенно безнравственная область математики. Совершенно не важно, из каких шатких соображений вы взяли решение какого-нибудь дифференциального уравнения. Если вы подставили его в уравнение и оно обратилось в тождество, то вы действительно получили его решение.

Ближе всего, пожалуй, к нелогичности физики то, что называется развитием понятия функции в математическом анализе. Вы начинаете читать курс анализа и объясняете студентам, что функция — это закон, который ставит данному значению аргумента некоторое определенное (любым способом) значение функции. Это называется определением (лучше сказать — пониманием) функции по Дирихле. Проходит семестр. Вы начинаете читать теорию неявных функций, и выясняется, что теперь функция — решение некоторого уравнения, зависящего от аргумента. Она может, вообще говоря, принимать несколько значений, образующих так называемые ветви. Дальше начинается курс теории функций комплексной переменной (или комплексного переменного — здесь мнения расходятся). Выясняется, что теперь аналитическая функция (а других и не рассматривают) — нечто вроде явно сформулированного закона, какими были элементарные функции в школьной программе. Финальный удар — теория обобщенных функций, у которых нет конкретных значений в данной точке, а они определяются некоторыми интегральными соотношениями. Не правда ли, образец логичности?!

Конечно, в физике и математике можно выделить уголки, в которых взаимное влияние не очень ощущается. Однако почти везде стоит чуть- чуть подумать, и оказывается, что физическое объяснение «на пальцах» совсем не полностью вяжется с математическими формулами. Две точки зрения, физика и математика, помогают сохранить объемное зрение на предмет и понять его лучше, чем сохранив только одну точку зрения.