Знание - сила, 2007 № 05 (959)

В своей работе Перельман наметил путь к устранению тех трудностей, с которыми столкнулся Гамильтон и которые так и не позволили ему завершить начатое дело. Одновременно он послал эту свою статью самому Гамильтону, а также своему давнему знакомцу по Нью-Йорку Жэнь Тяню (который с тех пор стал уже профессором Массачусетского технологического института), а также упомянутому выше Яу Чэнь-Туну и еще нескольким видным математикам. Разумеется, поступая так, Перельман сильно рисковал: поскольку его доказательство не было разработано подробно, проверка могла обнаружить в нем ошибки либо же им могли воспользоваться другие, чтобы, заполнив пробелы, выдать за свое открытие. Журналистам из «Нью-Йоркера» Перельман объяснил логику своего поступка характерным для него образом: «Я исходил из следующей предпосылки: если в моей работе допущена ошибка и кто-нибудь использовал бы ее для выработки правильного доказательства, это доставило бы мне удовлетворение. Я никогда не ставил перед собой цель стать единственным обладателем ответа на вопрос Пуанкаре».

Здесь, по-видимому, самое время сделать небольшое отступление и рассказать в самых общих чертах, в чем, собственно, состоит пресловутая гипотеза Пуанкаре и какие шаги для ее решения сделали Гамильтон и Перельман.

«Гипотеза Пуанкаре» относится к разряду топологии — науки, одним из основателей которой был Анри Пуанкаре. Топология изучает те общие свойства пространственных объектов (или, как говорят математики, «многообразий»), которые роднят их при любых деформациях.

Например, надутому воздушному шарику можно, как мы знаем, придать самые разные забавные формы, но с топологической точки зрения он всегда останется шариком, то есть у всех этих форм, при всех этих деформациях, сохранятся некоторые фундаментальные характеристики, которые будут роднить их друг с другом, позволяя все их назвать «шарами». С другой стороны, надутому шарику никогда нельзя придать форму «бублика» (тора), не разрезав его, и точно так же из «бублика» нельзя сделать шар, не разрезав «бублик».

Эти «многообразия» имеют разную топологию, они, как говорят математики, не «гомеоморфны» друг другу. Пуанкаре заинтересовал вопрос: каковы минимальные условия, которые позволяют сказать, что данное многообразие гомеоморфно именно сфере, а не, скажем, «бублику»? На бытовом уровне этот вопрос кажется пустячным: ну, допустим, вы увидели какой- то причудливый объект на дороге — весь во вмятинах, шишках, ямах и горбах. Что это, сильно деформированный шар или что-то другое? Занятно, конечно, но не так уж важно, в конце концов. Но представьте себе, что вы космолог, изучаете пространственные свойства нашей Вселенной и хотите на основании полученных данных решить, какова ее топология, сферично ли ее пространство — тут же, понятно, речь идет о фундаментально важном знании. Отсюда и важность задачи, поставленной Пуанкаре перед математиками. Пуанкаре сформулировал те условия, которые, как ему казалось, позволяют считать то или иное многообразие гомеоморфным сфере, но не доказал своего предположения. Поэтому оно получило название «гипотезы Пуанкаре». Эта гипотеза в ее нынешней стандартной форме гласит: «Всякое односвязное компактное n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере». Условие «компактности» означает здесь требование, чтобы поверхность была конечной и не имела границ, а условие «односвязности» — что между любыми двумя точками многообразия можно провести непрерывную линию, и все такие линии могут быть преобразованы друг в друга плавным путем. Скажем, в «бублике» это не так.

Надо еще иметь в виду, что Пуанкаре сформулировал свои условия (или свою гипотезу) для «сфер» любой размерности. Проще всего, конечно, представить себе обычную, всем нам знакомую сферу, то есть поверхность трехмерного шара. Эта поверхность имеет два измерения (человеку, стоящему на поверхности Земли, кажется, что он стоит на плоскости). То, что математик называет «трехмерной сферой», является поверхностью четырехмерного шара. Это еще с натяжкой можно себе представить. Но гипотеза Пуанкаре, как уже сказано, сформулирована для сфер любой размерности. Тут уже воображение бессильно.

Тем не менее математические методы исследования сохраняют свою эффективность и здесь, и в 1966 году Стивен Смейли получил Филдсовскую медаль за доказательство «гипотезы Пуанкаре» для случая сферы в пяти измерениях и больше. А в 1982 году Майкл Фридман доказал ее для случая четырех измерений, за что тоже получил медаль Филдса. Однако случай трехмерной (в математическом смысле) сферы оказался самым трудным, настолько трудным, что его сравнивали даже с теоремой Ферма. Выдающееся достижение Ричарда Гамильтона относилось именно к этому случаю. Один из комментаторов сравнил идею «потоков Риччи», введенную Гамильтоном для доказательства «гипотезы Пуанкаре», с насосом, который вгоняет воздух в некую искореженную форму, номинально удовлетворяющую условиям Пуанкаре, но внешне совершенно непохожую на сферу. Математические преобразования этой формы с помощью таких потоков позволяют «раздуть» ее, устранив все деформации, и действительно превратить в сферу. Трудности, остановившие Гамильтона на этом пути, связаны были с тем, что в некоторых случаях даже после таких «раздуваний» оставались какие-то «особые точки», мешавшие довести преобразование исходной формы до подлинной сферы (грубо говоря, получалось, например, что-то вроде штанги, перемычка которой упорно не желала «раздуваться»). Феноменальное достижение Перельмана состояло как раз в доказательстве, что если изучаемое многообразие действительно удовлетворяет условиям Пуанкаре, то все эти «особые точки» тоже можно устранить (с помощью найденных Перельманом специальных математических операций) и тем довести до успешного конца доказательство гомеоморфности этого многообразия трехмерной сфере.

Григорий Перельман

Революционное значение статьи Перельмана было оценено сразу. Шесть ведущих американских университетов, в том числе Гарвард, Пристон и Стэнфорд, немедленно пригласили автора прочесть у них циклы лекций, разъясняющих его работу. В апреле 2003 года Перельман совершил научное турне по Америке, где его лекции стали выдающимся научным событием: скажем, в Принстоне послушать его собрались такие «киты», как Джон Болл, руководитель Международного математического союза, Эндрю Уайлс, доказавший теорему Ферма, Джон Нэш, доказавший не менее знаменитую теорему Римана, и многие другие, кроме Гамильтона. В начале лета 2003 года Перельман вернулся в Россию, а в июле на том же интернетовском сайте появились вторая и третья части его работы, завершавшие доказательство «теоремы геометризации». С этого момента начался второй этап в «биографии» любого крупного математического открытия — этап проверки нового доказательства.