Знание-сила, 2006 № 11 (953)

Это—хорошие намерения, но задачи-то нужно уметь решать или нет? Ведь теория выросла из решения задач и нужна для того, чтобы их решать. Может быть, лучше поменьше говорить об обших вопросах, а решить побольше задач и объяснить на примерах, как нужно подходить к разным конкретным вопросам? Нужно ли доказывать все те теоремы, которые есть в курсе, или достаточно доказать только некоторые, научить студентов, как вообще доказывают теоремы, а деталей не надо. Опять же, хорошие студенты прочитают доказательства в книгах, а плохим все равно ничего не поможет.

Лекция в университете. Миниатюра из книги XIV вена

Конечно, обе крайности вредны, но мне ближе первая точка зрения. Я — представитель традиционной школы математического образования. Мне кажется странным не объяснять студенту, что такое интеграл, а сказать скороговоркой, что интеграл — это площадь под кривой и нечего тут особенно обсуждать, а давайте порешаем задачи. Вместо этого я не жалею времени на рассказ о том, что впервые понятие интеграла (ну конечно, как площади под кривой) начало формироваться у Архимеда. Из идей Архимеда выросло то, что называется определенным интегралом. Его четко описал в XIX веке немецкий ученый Б.Риман, а в начале XX века эту конструкцию кардинально улучшил французский ученый А. Лебег[* Неплохо написать их фамилии Riemann и Lebesgue па доске, а также объяснить, почему в написании латиницей инициал у Лебега Н, а не А, как можно было бы подумать. Вообще, занятия физикой и математикой способствуют расширению кругозора в иностранных языках.]. Для хороших студентов лучше хоть как-то объяснить, в чем разница между этими конструкциями (Риман подсчитывал площадь вертикальных столбиков, вписанных в график интегрируемой функции, а Лебег — горизонтальных и так оказалось гораздо лучше). Здесь место рассказать о том, что про определенный и итеграл можно доказать полезные и интересные теоремы, например, о том, что все приличные (непрерывные) функции интегрируемы, а плохие функции бывают и неинтегрируемыми. Для этих доказательств нужна достаточно развитая теория, она называется, по имени ее автора, теорией сумм Дарбу. Я, конечно, понимаю, что для студента, который будет физиком-экспериментатором, эта теория сложновата. Я думаю, что этому горю можно помочь путем разумного построения экзамена, на котором будут спрашивать про все, вошедшее в курс, но в разной мере. Зато по дороге выплывут понятия верхнего и нижнего интегралов Дарбу, которые настоящими интегралами не являются, зато полезны для доказательства теорем. Здесь, конечно, нужно вспомнить ученика Конфуция Гуньсунь Луня, который в древнем Китае размышлял о том, является ли белая лошадь лошадью (он опасался, что признак белизны примешивается к признаку лошадности и портит его). Жалко, конечно, Гуньсунь Луня, который потратил свою жизнь на эти размышления, но в излагаемой теории мы как раз и встречаемся с подобной же фигурой мысли!

Теперь время рассказать, что всем хорош определенный интеграл в теории, но вычислить его сам по себе трудно. Архимеду удалось вычислить парочку простых интегралов, а дальше дело застопорилось из-за того, что администрация Сиракузского университета не уделяла достаточного внимания закупкам компьютеров, с помощью которых интегралы отлично считаются. С хорошими компьютерами, возможно, развитие науки пошло бы по другому пути, а в реальности пришлось подождать чуть ли не два тысячелетия до того, как у Ньютона и Лейбница сформировалось понятие неопределенного интеграла (операции, обратной дифференцированию). Это понятие отвратительно с точки зрения теории. Оставаясь в его рамках невозможно догадаться, есть ли у данной функции интеграл до тех пор, пока ты его не вычислил. Зато для очень многих функций эти интегралы легко (а иногда и трудно) подбираются. Здесь неплохо вспомнить о великой книге Рыжика и Градштейна, в которой собран мировой опыт вычисления неопределенных интегралов. Неплохо рассказать, что одно из английских изданий этой книги — непосредственное воспроизведение русского издания с английским предисловием. Интерес был столь велик, что читатели мирились с непонятными русскими комментариями, благо что в справочнике их немного. Сказать, что книга есть в любой научной библиотеке мира, в которой есть хоть что-то математическое. Думаю, что студентам полезно узнать, что "Рыжик, автор первого и второго издания этих таблиц, погиб во время Великой Отечественной войны". Не только же о смерти Архимеда рассказывать. А дальше нужно говорить о формуле Ньютона- Лейбница, которая связывает два понятия интеграла, и о современных пакетах программ формульного интегрирования, которые вырастают из книги Рыжика и Градштейна. В общем, я склонен думать, что даже если из студента и не получится физика, а он будет работать в банке, знать про все это ему полезно. Ну, хотя бы будет понимать, что математика как-то вписывается в исторический контекст и будет способен провести грань между историческими бреднями Фоменко и его математическими работами.

Но в то же время я прекрасно знаю, что этот рассказ совсем не всем кажется обязательным. Недавно встретил знакомого. Оказалось, что его дочка слушает мои лекции, и они ей нравятся. "Приходит, — говорит, — с лекций с горящими глазами. Ну, ты им, наверное, про всякие там теоремы не рассказываешь — зачем они физикам, а задачи решаешь". Не стал я его огорчать, тем более что и многие корифеи науки так думали.

Да и просто не исключено, что студент знает классический анекдот о великом американском математике Марке Каце, который на склоне лет приехал в Киев, город своей молодости. Время было советское и пришлось согласиться на плотное сопровождение экскурсовода, которая город знала плохо и рассказывала неинтересно. Наконец, старик не выдержал и сказал: "Однажды бабушка подарила внуку книгу о пингвинах. Хороший мальчик пишет ей благодарственное письмо: Спасибо, дорогая бабушка! Из твоей книги я узнал о пингвинах намного больше, чем хотел бы о них знать..." А вдруг и студенты думают о моих рассказах нечто в таком духе?

Но это на самом деле это цветочки. Бывает гораздо хуже. Этой зимой был в Индии, в университетском городе. Работал с моим индийским коллегой, писали статью, написали и уже напечатали. Но в процессе работы говорит он мне: "Давай прервемся на пару дней. Мне нужно дочке помочь подготовиться к контрольной по математике. Она у меня на первом курсе технического университета учится". Ну, мне, конечно, захотелось посмотреть, чему они там за несколько месяцев научились. Посмотрел я на образец этой контрольной, и у меня волосы дыбом встали. В контрольной полно задач, причем задач сложных и разнообразных. Я бы такую контрольную ни за что в нашем университете не рискнул дать. "Неужели, — говорю, — они все это действительно за три месяца изучили?" "Да нет, конечно, — отвечает, — им рассказали вкратце и показали, как решать задачи. Вот я теперь с ней еще позанимаюсь. Она, конечно. всего решить не сможет, но требуемый балл, думаю, наберет". Так и случилось.