Знание-сила, 2002 №09 (903)

Рисунок 11

Нумерация цветочков в соцветии соответствует их возрасту.

В более жесткой формулировке: по известной теореме число классов вычетов по модулю m равно n. Следовательно, после сложения векторов тип появляется новый класс вычетов по модулю (m+n) и новое семейство парастих (m+n).

На смену филлотаксису (m,n) приходит филлотаксис (m,m+n).

Но именно так. по правилу Фибоначчи, строится любая последовательность (m,n,m+n, U k*m+U k+l*n, …. где

k- порядковый номер члена последовательности, U k- k-тый член основного ряда Фибоначчи}. Таким образом, доказано, что возрастание спирального филлотаксиса соответствует росту членов ряда Фибоначчи.

Рисунок 12 Спираль-сетка

Спиральная структура возникает как «рисунок» над субстратом архимедовой спирали, в свою очередь являющейся структурой- СВ соответствий с концепцией Владимира Лефевра!)

Со школьных времен мы привыкли складывать и вычитать прямолинейные векторы по правилу параллелограмма. Оказывается, можно складывать и вычитать целочисленные векторы в согласии с правилом параллелофамма (даже если они криволинейные) на нашей центрической решетке.

Рисунок 13

Сложение и вычитание векторов по правилу параллелограмма

Рисунок 14 и

Рисунок 15

Сложение и вычитание спиралей

Если читатель внимательно рассматривал рисунки, он понял, что появление и рост контактных парастих описывается сложением векторов в момент касания двух примордиев, двигающихся в противоположных вершинах ячейки сетки.

Рисунок 16

Более того, разглядывая примордии последовательно от центра к периферии, можно проследить эволюцию их взаимного расположения. В векторном «параллелограмме»-ячейке ABCD примордии А и С удалены друг от друга, их парастиха неконтактная и на поверхностный взгляд незаметна. Примордии В и D, напротив, стоят рядом в хорошо различимой контактной парастихе.

Как только побег удаляется от центра, ситуация меняется. Примордии А и С, вырастая, соприкасаются и дают начало новой суммарной (A'C’=A’B’+A’D’) контактной парастихе. Примордии В и D расходятся, контакт между ними разрывается, и парастиха перестает быть контактной.

Вот так «складываются» отношения листьев, почек на одной только ветке.

В результате этого короткого и упрощенного рассказа читатель, думаю, понял, что модель достаточно универсальна и позволяет описать супротивное и мутовчатое листорасположение так же просто, как и спиральное. Если цилиндр достаточно узок и если примордии появляются порциями из двух, трех или большего количества пузырьков, мы наблюдаем супротивный и мутовчатый паттерны. Таким образом, изменяя только два параметра модели: диаметр цилиндра и количество одновременно появляющихся пузырьков, – мы можем сконструировать все типы и разновидности листорасположения!

Рисунок 17 (Две позиции.) нескольких «стаканов»- моделей

Верна или не верна гипотеза, работа над нею послужила импульсом к ряду математических исследований в областях, далеких от ботаники.

Впрочем, это тема для отдельного разговора.

В завершение же хочется обратить внимание читателя на одно странное на первый взгляд замечание Кеплера, рассуждающего о растительных формах. Объясняя ряд Фибоначчи, он пишет: «Пусть два младших члена будут числами 1 и 1 (ты можешь считать их неравными)…». Что значит «неравными»?!

Рисунок 18 Две генетические спирали

Мы видим, что на соцветии спиральные парастихи являются геометрическим воплощением ряда Фибоначчи в живой природе. Началу ряда, то есть единице, соответствует основная генетическая спираль (обходящая все примордии с углом дивергенции 360*( 1-0,618Е) -137,5 градусов). Но в той же последовательности эти отростки можно обойти и в противоположном направлении (с углом дивергенции 360*0,618E -222,5 градусов, золотое сечение круга). И это, по существу, тоже основная генетическая спираль. Вот вам и ответ.* Две спирали различного направления вращения, различной крутизны соответствуют двум первым неравным, по определению Кеплера, единицам ряда Фибоначчи. Каким складом ума надо обладать, чтобы различать в лицо две единицы!

Это – числа Битти

Павел Лахтунов, художник:

– Если вернуться к числовой плоскости, то увидим: пересекая последовательно гиперболу прямыми линиями (как нарисовано), получаем картину, при которой каждая точка пересечения имеет свою проекцию и каждое следующее значение проекции равно сумме двух предыдущих! Это – известный факт. Остается записать последовательность чисел, начиная с 1:

Но вот что совсем неожиданно:

точки гиперболы и числа ряда Фибоначчи строят друг друга, и их связь на «генетическом» уровне. Вот почему так часто и внезапно появляются числа Фибоначчи в математике.

Если в тех же точках пересечения построить касательные, они дают… удвоенные значения ряда Фибоначчи:

2 4 6 10 16 26 42…

Вместе же – это две ветви фибоначчиева аналога Модулора Корбюзье!

Так возникает бесконечная фибоначчиева линейка, развивающаяся вдоль числового ряда по двум ветвям, соответственно двум спиралям Модулора Корбюзье.

*К. Бахтияров:

связь свойства суммирования проекции точек пересечения секущими с порождением чисел ряда Фибоначчи нашел ученик 10 класса ФМШ МИФИ (в 1987 году) Максим Пономарев- в ходе занятий эксприментального курса рисования который тогда вел Павел Лахтунов.