Джо Боулер - Безграничный разум

Когда я продемонстрировала разные подходы к решению одной задачи, многие были удивлены и испытали чувство освобождения.

Однажды меня пригласили на встречу с удивительным человеком — профессором Стэнфордского университета Себастьяном Труном и его командой в Udacity [131], занимающейся дистанционным образованием. Трун руководил разработкой беспилотных автомобилей и был одним из первых создателей открытых онлайн-курсов (Massive Open Online Courses, MOOCs). В настоящее время он разрабатывает летающие автомобили. Я взяла у него интервью для своего первого онлайн-курса, адресованного учителям, чтобы распространить его идеи о математике и преподавании.

Себастьян пригласил меня в Udacity пообщаться с его командой. Тогда мы и познакомились. В тот день я сидела в многолюдной комнате вместе с инженерами. Те, кто втиснулся в небольшое помещение, сидели вокруг стола, остальные расположились на полу вдоль стен. Себастьян представил меня собравшимся и тут же начал забрасывать вопросами о правильных подходах к изучению математики. А я спросила присутствующих, не хотят ли они все вместе решить математическую задачу. Они охотно согласились. Я попросила их найти произведение 18 × 5, затем собрала методы счета, разыграв мини-версию бесед о числах. В тот день для решения примера было использовано шесть разных методов, и я нарисовала их на столе, вокруг которого мы сидели. Вся группа была настолько поражена, что некоторые поспешили на улицу и стали предлагать прохожим посчитать, сколько будет 18 × 5. Впоследствии они записали небольшой онлайн-курс по решению этого примера и изготовили футболки с надписью «18 × 5», которые носили в Udacity.

Я поделилась этим подходом с другим потрясающим лидером в IT-области Люком Бартелетом, который возглавлял разработку игр SimCity и одновременно занимал должность исполнительного директора Wolfram Alpha, сайта с данными, вычисляемыми онлайн. Он также был воодушевлен примером и начал предлагать каждому решить его.

Конечно, 18 × 5 не единственная задача, которую можно решить множеством способов. Однако самые разные люди, прекрасные математики, испытали чувство освобождения, осознав, что существует множество методов решения задачи.

Почему люди так удивляются многоплановому творческому подходу к математике? Одна женщина, которой продемонстрировали решение примера 18 × 5, была потрясена. Она сказала: «Не то чтобы я не знала, что все это можно проделывать с числами, но я скорее думала, что так нельзя».

Учитель из Англии связал свой опыт с «Беседами о числах». Он попробовал вести подобные дискуссии среди своих лучших учеников и начал с задачи 18 × 5. Школьники охотно предлагали разные способы решения, обсуждение получилось живым и интересным. Затем он задал тот же вопрос группе неуспевающих — ответом было молчание. Ученики могли вычислить результат с помощью известного им алгоритма, но других подходов к решению не знали. Учитель предложил подумать о том, как можно решить эту задачу по-другому, например найти произведение 20 × 5. Класс очень удивился: «Но, сэр, мы думали, что так делать нельзя». Сильные ученики усвоили гибкий подход к числам, а слабые не смогли, полагая, что так обращаться с числами непозволительно.

Этот случай свидетельствует об ущербе, нанесенном математическому образованию: люди думают, что гибко обращаться с числами нельзя, а математика состоит из следования правилам и схемам. Неудивительно, что очень многие теряют интерес к предмету. Я часто отмечала эту проблему. Она типична для всех учеников и представителей всех национальностей, но, похоже, особенно характерна для неуспевающих, как следует из приведенного примера и исследования Грея и Толла.

Исключительно эффективный математический навык — упрощать. Когда мы ищем решение сложной задачи, используя меньшие числа, то присущие ей закономерности часто становятся более понятными и осязаемыми. К примеру, рассмотрим изящное доказательство, известное как доказательство Гаусса. Это одна из прекрасных математических закономерностей, которые полезно знать каждому учителю или родителю независимо от того, увлекаются их дети математикой или нет.

Карл Гаусс был немецким математиком, жившим в XIX веке. Я не знаю, насколько правдива часто упоминаемая история про его детские годы, но она замечательная! Когда Карл учился в начальной школе, преподаватель понял, что ему необходимо давать сложные задачи, и, чтобы занять его на долгое время, попросил сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Но маленький Карл заметил одну любопытную закономерность и понял, что необязательно складывать все числа, ведь сумма пар чисел, равноудаленных от концов, одинакова: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 … 50 + 51 = 101 и так далее, и что таких пар ровно 50. Результат был получен мгновенно: 50 × 101 = 5050 (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Способ вычисления суммы целых чисел от 1 до 100, примененный Карлом Гауссом, и пример с вычислением суммы целых чисел от 1 до 10

Чтобы понять закономерности в доказательстве Гаусса, полезно рассмотреть пример с меньшим количеством чисел — от 1 до 10. Так мы поймем, почему сложение пары, где одно число на единицу больше, а другое на единицу меньше чисел в предыдущей паре, дает в сумме одно и то же число. Если вам захочется испытать себя и не упустить возможность для развития мозга, рекомендую подумать, как метод Гаусса работает на примере последовательности, состоящей из нечетного количества целых чисел.

Рассмотрение примера с последовательностью чисел от 1 до 10 — по сути, математическая операция, но когда я объясняла это ученикам, то столкнулась с сопротивлением слабых школьников. Их учили, что математика состоит из набора правил, которым нужно четко следовать. Им совершенно чужда мысль о том, что можно не отвечать на поставленный вопрос, а задать другой, изменить первоначальную задачу; они считают, что тем самым нарушат выученные правила.

Мне кажется, в жизни крайне важно научиться играть с числами и рассматривать математику как предмет, к которому стоит относиться открыто и многопланово. Я говорю это не ради красного словца, а потому что знаю: когда люди иначе рассматривают математику, они так же по-другому видят и собственный потенциал, а это меняет их жизнь и дает возможность пережить опыт, который нельзя получить иным образом. Такое восприятие позволяет им не только преуспеть в математике и STEM-дисциплинах в школе и за ее пределами; оно развивает умение разбираться в количественных показателях, помогает освоить профессии, связанные с финансами, статистикой и другими сферами жизни, немыслимыми без математики.