Джо Боулер - Безграничный разум

Если учителя преподают математику как открытый и концептуальный предмет, освоение которого не завязано на временных рамках, это невероятно раскрепощает мышление. Нина Судник, учительница четвертого класса из Огайо, рассказала об одном ученике, испытавшем чувство освобождения после того, как он нашел концептуальное решение математической задачи. Молодую женщину очень удивляло то, как мало знали ее ученики, хотя они изучали математику уже пятый год. Она попыталась понять причины и в конце концов нашла одну из моих предыдущих книг — «При чем тут математика?» (What’s Math Got to Do with It?) [132], которая произвела на нее большое впечатление.

Я читала эту книгу, и если бы я показала ее вам, вы бы увидели, что почти каждое предложение было подчеркнуто. Мой мозг взрывался от разных идей — впрочем, они всегда меня одолевали, только выразить их я не могла. Я не понимала, почему эти ученики испытывают такие трудности.

После летних каникул Нина вернулась в школу и изменила методы преподавания. В конце первого года 64% ее учеников знали предмет на базовом уровне. На следующий год эта цифра увеличилась до 99%.

Нина также пересмотрела принципы ежедневной и еженедельной проверки успеваемости. Теперь она не возвращала ученикам тесты с плюсами и минусами, что служило им фиксированным сигналом об их достижениях, а писала комментарии к работам, указывая на то, что учащиеся поняли, а что только начинают усваивать. Получив свои работы в первый раз, они искали плюсы и минусы, но ни одного не нашли. Нина объяснила, что теперь она рассматривает результаты тестов как показатель того, в какой точке находится ученик на воображаемой шкале понимания предмета.

Кроме того, Нина давала ученикам математические задачи, требующие гибкого и концептуального подхода. Одну из таких задач она взяла из нашего курса «Неделя вдохновляющей математики» (Week of Inspirational Math), где собраны открытые и творческие задачи, которые мы каждый год публикуем на ресурсе Youcubed. Это нерешенная задача из истории математики, которая называется гипотезой Коллатца. Мы представили ее следующим образом.

• Возьмите любое целое число больше нуля.

• Если число четное, поделите его на 2 (уменьшите вдвое).

• Если число нечетное, умножьте его на 3 и прибавьте 1.

• Продолжайте данные операции с полученными числами, пока последовательность не закончится.

• Выберите другое число и создайте аналогичную последовательность. Как вы думаете, что произойдет?

До сих пор никому не удалось найти последовательность чисел, которая не заканчивается числом 1, и никто не смог доказать, почему это так. Данная задача также известна как последовательность чисел-градин, поскольку полученные числа образуют график, похожий на траекторию движения градин в атмосфере, — вверх и снова вниз (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Формирование града

Несмотря на то что данную проблему никто не смог решить, мы посчитали, что она подходит для третьеклассников и учеников постарше. Многие учителя задавали ее своим ученикам, побуждая их быть первыми, кто найдет последовательность, которая не заканчивается единицей, — безусловно, ученикам это нравилось.

Ветер выталкивает капли дождя выше точки замерзания, где они начинают вращаться, замерзают и увеличиваются в размерах, пока не станут достаточно тяжелыми и не начнут выпадать на землю в виде града.

Рис. 5.7. Визуальное отображение числовых закономерностей

Рис. 5.8. Количество шагов, за которое последовательность приходит к единице

Одна из учениц Нины, Джоди, в течение года по состоянию здоровья часто пропускала занятия и не могла выполнять домашнюю работу. Она никогда не любила математику, но была очарована задачей о числах-градинах. Однажды Нина заметила, что карманы Джоди, вышедшей на прогулку, набиты небольшими листками бумаги. Несколько недель карманы все увеличивались, пока листки не начали выпадать.

Наконец Нина спросила у нее, что это такое. Джоди запустила руку в карман и вручила Нине листки с каракулями, где она пыталась изобразить разные графики последовательностей. Неделями девочка старательно работала над гипотезой Коллатца, проверяя одну последовательность за другой. Нина задумалась и поделилась своими мыслями со мной.

Джо, она знает эту последовательность и чертовски этим гордится. Я сказала ей: «Мне неважно, будешь ли ты весь год выполнять домашние задания. (Усмехается.) Просто продолжай работать над последовательностью чисел-градин».

Многие ребята говорили: «Ничего себе! Каждый раз, когда мы доходим до 16, последовательность повторяется». Я им: «Правда?»

Джоди чувствовала, что достигла успеха, — возможно, первый раз за все время изучения математики, так что спасибо тебе за это.

То, насколько вредит нашей системе образования упор на запоминание в ущерб концептуальному обучению, было прямо показано в недавнем тесте, проведенном командой Международной программы по оценке образовательных достижений учащихся (Programme for International Student Assessment, PISA). Данную программу курирует Организация экономического сотрудничества и развития (Organisation for Economic Co-operation and Development, OECD), расположенная в Париже. Программа представляет собой тест на проверку грамотности и умение применять полученные знания на практике; он проводится по всему миру каждые три года среди подростков 15 лет. Команда PISA пригласила меня в Париж, чтобы помочь им провести тест.

Как только я расположилась за столом в их офисе, мне сразу задали вопрос: «Что у американцев не так с числом π?» Они имели в виду тот факт, что американские ученики отвратительно справлялись со всеми задачами, связанными с числом π (отношение длины окружности к ее диаметру, иррациональное число, которое начинается с 3,14), — их показатели были чуть ли не худшими в мире. На этот вопрос у меня был ответ.

Переехав из Великобритании в США, я отмечала кое-что любопытное в изучении числа π. В США детей учат запоминать как можно больше цифр после запятой. Число π обычно сокращается до 3,14, но после запятой эта последовательность уходит в бесконечность. Это наводит американских школьников на мысль, будто число π «длится целую вечность», что заслоняет его реальное значение как отношение длины окружности к ее диаметру. На самом деле выраженное этим числом соотношение — динамичное и захватывающее, потому что размер окружности не имеет значения, а отношение длины окружности к ее диаметру всегда одинаковое.