Вадим Грибунин - Цифровая стеганография

3. Выбор переменной U независимо от контейнера , как это делается в системе водяного знака согласно рис. 3.2, является в общем случае не оптимальным. Анализ выражения (3.8) показывает, что скорости безошибочной передачи в этом случае ограничены сверху величиной .

4. Пусть выполняется условие ≥ . Если атакующему известно описание контейнера , то оптимальная атака состоит просто в формировании искаженного стего в виде . В этом случае выходной сигнал после атакующего не содержит никаких следов сообщения и скрытая ПС равна нулю. На практике это означает следующее. Если нарушителю известен оригинал защищаемой от пиратского копирования мультимедийной информации, то никакие стегосистемы не защитят авторские и имущественные права производителей мультимедийной продукции.

Рассмотрим потенциально сильную атаку, в которой атакующий стремится сконструировать достаточно близкую к оригиналу оценку контейнера . Если атакующий способен синтезировать искаженное стего Y такое, что , то платеж ограничен сверху величиной

(3.12)

для всех U . Следовательно, величина скрытой ПС стегоканала < .

Таким образом, если нарушитель способен сформировать достаточно точную оценку контейнера (иными словами, выполняется неравенство , где величина ε достаточно мала), то величина скрытой ПС ограничена этой малой величиной. А на практике это означает, что располагая подписанным водяным знаком стего, нарушитель может попытаться воспроизвести из него с некоторой допустимой погрешностью пустой контейнер, из которого удалено скрываемое сообщение. Такие примеры известны еще с доэлектронных времен стеганографии. Например, если перерисовать картину, заверенную художником малозаметными для визуального восприятия авторскими знаками, то хорошая копия может быть практически неотличима от оригинала (по крайней мере, для обычных зрителей), а авторские знаки, скорее всего, будут разрушены.

Определим величину скрытой ПС стегосистемы, в которой алфавит скрываемых сообщений, контейнеров, ключей и стего является двоичным алфавитом . Пусть контейнер формируется источником Бернулли, то есть символы последовательности контейнера являются независимыми друг от друга и равновероятными. Функция искажения описывается расстоянием Хэмминга: , если и в ином случае. Описание контейнера является секретным ключом стегосистемы ( ) и известно декодеру. Пусть двоичная последовательность формируется независимо и равновероятно. Стегограммы формируются в виде , где операция есть суммирование по модулю 2. Переменная Z имеет бернуллиевское распределение и отображает скрываемое сообщение M с искажением . Искажение означает, что каждый символ двоичной последовательности Z отличается от соответствующего символа двоичной последовательности M с вероятностью . Преобразование сообщения M в последовательность Z выполняется скрывающим информацию с использованием кодера с искажением . Нарушитель обрабатывает стего наложением на него двоичной шумовой последовательности , в которой единичный символ порождается с вероятностью . Получатель суммирует искаженное стего с двоичной последовательностью по модулю 2, и из полученной таким образом двоичной последовательности декодирует принятое скрываемое сообщение . Особенностью этой стегосистемы является то, что в ней скрываемое сообщение при встраивании искажается с вероятностью искажения и это искажение равно искажению кодирования стего. Такая стегосистема показана на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Структурная схема двоичной стегосистемы

Утверждение 3.5: Для двоичной стегосистемы при величинах искажений скрытая ПС определяется в виде

, (3.13)

где, по определению, , и .

Оптимальная атака нарушителя определяется в виде , где есть случайная двоичная последовательность, распределенная по бернуллиевскому закону с вероятностью появления единичного символа . Для и скрытая ПС равна . Для и , скрытая ПС равна .