Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

В «Большом космическом путешествии» отмечено, что если два протона приближаются друг к другу, сильное взаимодействие преодолевает силу электромагнитного отталкивания между ними и заставляет их сливаться.

Наша цель — вычислить, какой должна быть температура в ядре звезды, чтобы они могли сблизиться на нужное расстояние; при этом мы убедимся, что выяснить, какое именно расстояние считать нужным, не так-то просто.

45. аПервым делом определим соотношение между температурой протонного газа T и расстоянием, на которое могут подойти друг к другу протоны в этом газе. Рассмотрим два протона, которые движутся навстречу друг другу; каждый из них обладает первоначальной кинетической энергией E = 3/2 kT , где k — постоянная Больцмана, которую вы найдете в разделе «Полезные численные величины и формулы». Сила взаимного отталкивания, вызванная тем, что у обоих протонов положительный заряд, заставляет их замедлиться, и они останавливаются, а потом снова разлетаются: в точке наибольшего сближения вся кинетическая энергия преобразуется в электростатическую потенциальную энергию . Формула потенциальной энергии U двух протонов с зарядом e , разделенных расстоянием r , такова:

2 e

U = q ,

r где q 9 109 (Джоуль метр) кулон–2, и это постоянная силы Кулона .

Заряд протона равен е 1/6 10–18 кулона.

Предположим, что сильное взаимодействие одерживает верх, когда два протона непосредственно соприкасаются, то есть при r = 10–15 м. Вычислите отношение первоначальной кинетической энергии к окончательной

48

7—8. Жизнь и смерть звезд потенциальной энергии на этом расстоянии и решите уравнение для температуры, необходимой, чтобы два протона настолько сблизились. Сравните температуру в центре Солнца (15 миллионов К) и поясните, достаточно ли по вашим расчетам жарко в центре Солнца, чтобы произошел синтез из двух протонов?

45. bВ части а) вы должны были обнаружить, что температура, необходимая для синтеза двух протонов, значительно выше реальной температуры в ядре Солнца. Однако мы знаем, что термоядерный синтез в Солнце идет, а следовательно, мы чего-то недопонимаем. Это что-то — квантовая механика. Один из принципов квантовой механики гласит, что мы не можем одновременно точно знать и местоположение, и скорость объекта (это называется принципом неопределенности Гейзенберга ). В частности, положение протона массы m , который движется со скоростью v , можно вычислить с точностью лишь до h

λ =

,

mv где h 2/3 10–33 джоулей с — так называемая постоянная Планка

(расстояние в этом уравнении называется длиной волны де Бройля для протона). Сначала покажите, что имеет размерность длины. Затем выразите v , а следовательно, и, через температуру на основании формулы, связывающей кинетическую энергию и температуру газа (здесь ограничьтесь только алгеброй, числа подставим потом). Далее, воспроизведите вычисления из части а), подставив длину волны де Бройля в качестве расстояния между двумя протонами, на котором верх одерживает сильное взаимодействие, и решите уравнение для температуры. Ответ дайте в алгебраическом виде через q, e, m, h и k. Наконец, подставьте числа.

Действительно ли полученная температура лучше соответствует реальной температуре в ядре Солнца?

49

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

46. Свойства белых карликов

Задача повышенной сложности.

В этой задаче мы вычислим плотность звезды типа белый карлик непосредственно из ее наблюдаемых свойств.

46. аБелый карлик Сириус B, звезда-компаньон Сириуса А (ярчайшей звезды на ночном небе), обладает параллаксом, вызванным движением

Земли по околосолнечной орбите, в 0,38 угловой секунды. Каково расстояние до него? Ответ выразите в световых годах.

46. bЕсли бы Сириус B не находился так близко к своему очень яркому компаньону, его было бы видно в мощный бинокль. Его яркость составляет

10–13 от яркости Солнца (конечно, ведь он находится гораздо дальше Солнца!). Вычислите отношение светимости Сириуса B к светимости Солнца.

46. сТемпература поверхности Сириуса B d 25 000 К (она определена по его спектру). Предположив, что он излучает как абсолютно черное тело (что так и есть), и вооружившись знаниями о светимости Сириуса B из части b), вычислите радиус Сириуса B. Подсказка: Если вам захочется воспользоваться для решения этой задачи постоянной Стефана — Больцмана, вы получите верный ответ, но сильно перетрудитесь. Лучше опирайтесь на свои знания о ра-

диусе и температуре поверхности Солнца и возьмите эти величины за эталон .

46. dПоскольку Сириус B и Сириус А вращаются по орбитам друг вокруг друга, массу каждой из этих звезд можно определить с помощью закона всемирного тяготения Ньютона. Оказывается, что масса Сириуса B

очень близка к массе Солнца. Какова его средняя плотность? Вас, наверное, позабавит цитата из сэра Артура Эддингтона, одного из величайших астрофизиков своего времени:

Послание от компаньона Сириуса удалось расшифровать, и оно гласило: «Я состою из вещества в 3000 раз плотнее всего, с чем вы имели дело, и тонна

50

7—8. Жизнь и смерть звезд моего вещества — крошечный кусочек, который поместится в спичечный коробок». Что можно ответить на такое послание? Большинство из нас в

1914 году сказали: «Замолчи. Не говори глупостей».

Проверьте сэра Артура, вычислите, какого размера должен быть кусочек вещества белого карлика весом в 1 тонну (1000 килограммов). Каковы габариты кубика из вещества белого карлика такой массы? Поместится ли он в спичечный коробок?

47. Сжатие в белый карлик

При такой чудовищной плотности, как в недрах белого карлика

(2 109 кг/ м3), отдельные атомы не в состоянии удержать при себе электроны, и ядра там стиснуты вместе, а электроны, не связанные ни с какими ядрами, блуждают между ними. Представим себе белый карлик, состоящий исключительно из ядер углерода (масса ядра углерода в 12 раз больше массы ядра водорода); вкладом электронов в массу белого карлика можно пренебречь. Вычислите среднее расстояние между ядрами в белом карлике, результат выразите в ангстремах (1 ангстрем = 10–10 м). Сравните с типичным расстоянием между ядрами в твердом углероде при нормальных условиях, которое составляет ~ 1 ангстрем. Подсказка: здесь нужен приблизительный ответ.

48. Вспышки в ночи

Пульсары — объекты, которые, как видно из наблюдательных данных, мерцают с частотой до 600 раз в секунду. Пульсар — это вращающаяся звезда с яркой точкой возле магнитного полюса, и мы видим эту яркую точку каждый раз, когда звезда совершает полный оборот. Таким образом, период вращения звезды может составлять 1/600 секунды. В этой задаче мы получим представление о физической природе пульсара.