Джеффри Уэст - Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Подобно словам «импульс» или «квант», слово «экспоненциальный» – это технический термин, пришедший из языка науки, в котором он имеет точно определенное значение. Однако они прижились в повседневном, разговорном языке благодаря тому, что они выражают полезные концепции, не всегда точно передаваемые в повседневной речи. Выражение «экспоненциальный рост» часто понимают просто в смысле роста чрезвычайно быстрого. Например, первое значение слова «экспоненциальный», которое дает мой словарь, – это «стремительно растущий». На самом же деле экспоненциальный рост начинается весьма медленно, почти незаметно, и лишь впоследствии плавно переходит к тому, что можно назвать быстрым ростом. Но дело не только в этом.

Согласно математическому определению, экспоненциально растущее население – это такое население, величина прироста которого (например, в минуту, в сутки, в год и так далее) прямо пропорциональна численности уже существующего населения. Таким образом, сама скорость прироста увеличивается тем быстрее, чем больше численность населения. Например, когда численность экспоненциально растущего населения удваивается, скорость его прироста тоже удваивается, то есть чем больше оно становится, тем быстрее оно растет, и такая положительная обратная связь в конце концов приводит к неограниченному, взрывному увеличению численности. В отсутствие ограничений и численность населения, и скорость его прироста могут стать бесконечно большими.

Все мы хорошо знакомы с одним примером роста такого типа по повседневной жизни, хотя в этом случае его обычно не называют экспоненциальным. Утверждение о том, что скорость прироста в единицу времени прямо пропорциональна текущему количеству, эквивалентно утверждению о постоянном уровне относительного прироста или процентной ставки, что звучит вполне невинно. Это не что иное, как классические сложные проценты, которые используются банками для расчета доходности ваших вложений. Поэтому, когда президенты, министры финансов, премьер-министры или директора компаний заявляют, что уровень роста их стран или организаций составляет в этом году 5 %, или когда банк сообщает вам, что норма прибыли на ваши сбережения равна 5 %, это на самом деле означает, что соответствующие средства увеличиваются экспоненциально, и их абсолютная скорость роста в следующем году должна быть на 5 % больше, чем в этом. Так что, если ничего не изменится, все будут становиться все богаче и успешнее. Даже когда президент мрачно заявляет, что в этом квартале экономический рост составил всего 1,5 %, и подвергается яростной критике за «застойное» состояние экономики, его слова все равно означают, что экономика растет экспоненциально и скорость ее роста по-прежнему становится все большей по мере увеличения ее объемов, но несколько медленнее. При постоянной процентной ставке роста все становятся все богаче и благополучнее, и то, что мы «подсаживаемся» на неограниченный, как на стероидах, экспоненциальный рост, не должно казаться удивительным. Он действительно опьяняет и представляет собой прямое проявление огромного успеха развития нашей экономики.

Рост системы, будь то экономика или популяция, часто выражают при помощи величины, которую называют периодом удвоения: она просто равна тому времени, которое занимает увеличение размеров системы в два раза. Экспоненциальный рост характеризуется постоянным периодом удвоения, что тоже кажется довольно безобидным свойством, пока не поймешь, что это подразумевает, например, что удвоение численности населения с десяти до двадцати тысяч, то есть прибавление всего 10 тысяч человек, занимает столько же времени, сколько удвоение с 20 до 40 млн, при котором добавляется целых 20 млн человек. Как это ни удивительно, период удвоения численности населения мира, как было указано выше, систематически сокращается: удвоение с 500 млн до одного миллиарда заняло 300 лет, с 1500 по 1800 г.; следующее удвоение до 2 млрд – всего 120 лет, а следующее после него, до 4 млрд, всего лишь 45 лет. Эта тенденция проиллюстрирована на рис. 31. Таким образом, до недавнего времени наша численность росла с увеличивающейся скоростью, превышающей чисто экспоненциальный рост! Хотя за последние 50 лет это ускорение стало уменьшаться, численность человечества все еще растет, по сути дела, экспоненциально.

Я не буду приводить других определений и сухой статистики, а лучше расскажу пару забавных историй, которые ярче иллюстрируют эти идеи. Удивительные привлекательность и опасность экспоненциального роста известны уже давно, особенно на Востоке, где сложные проценты понимались и применялись еще в древности. Иллюстрацию этого можно найти в одной из величайших эпических поэм мировой литературы, «Шахнаме», написанной около тысячи лет назад прославленным персидским поэтом Фирдоуси. Это произведение – самая длинная эпическая поэма в мире, ее написание заняло тридцать лет. Приблизительно в это же время в Персии появились шахматы, завезенные туда из Индии, в которой они были изобретены. Фирдоуси отразил популярность этой игры, использовав шахматную доску в качестве иллюстрации особенностей экспоненциального роста. Вот одна из версий этой истории.

Когда изобретатель шахмат показал эту игру царю, тот был настолько увлечен ею, что предложил мудрецу самому назначить себе награду за изобретение столь замечательной и трудной игры. Имея склонность к математике, тот попросил у царя чрезвычайно скромную на первый взгляд награду – всего несколько зерен риса. Однако их следовало отмерить таким образом: за первую клетку шахматной доски он должен был получить одно зернышко, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать и так далее, удваивая число зерен на каждой следующей клетке. Царь, несколько обиженный столь, по-видимому, убогим ответом на свое весьма щедрое предложение, все же решил удовлетворить просьбу изобретателя и повелел своему казначею отсчитать зерна по предложенной изобретателем схеме. Однако, когда прошла неделя, а казначей все еще не исполнил приказания, царь призвал его и спросил о причинах такой невероятной медлительности. В ответ казначей сказал царю, что для выплаты изобретателю его награды не хватит всех богатств, имеющихся в царстве.

Посмотрим, почему ответ казначея не только справедлив, но и, на самом деле, сильно недооценивает размеры награды. Понять это очень просто. Вспомним, что на шахматной доске есть 64 (8 × 8) клетки. По условиям определения награды на первую клетку следует положить 1 зерно, на вторую – 2, на третью – 4 и так далее. Таким образом, например, на восьмой клетке (расположенной в правом верхнем углу доски) должно быть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 зерен. Однако на последней, 64-й, клетке, расположенной в правом нижнем углу доски, число зерен должно быть равно произведению уже 63 двоек (то есть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2… 63 раза). Получается поистине астрономическое число: если вы вычислите его на калькуляторе своего компьютера или смартфона, вы увидите, что оно равно 9 223 372 036 854 775 808, то есть немногим меньше десяти миллионов триллионов рисовых зерен! Если ссыпать весь этот рис в одну кучу, она оказалась бы выше Эвереста.