Сергей Попов - Все формулы мира

где Δx – неопределенность координаты, а Δp – неопределенность импульса частицы.

В нашем рассуждении существенно, что мы пытаемся локализовать частицу по координате с точностью порядка ее комптоновской длины волны. Это приведет к тому, что неопределенность импульса будет порядка Δp = mc (именно поэтому выше мы могли использовать скорость света при сопоставлении частоты и длины волны). Тогда для Δx получим:

Таким образом, эта величина равна комптоновской длине волны, деленной на 2π. Эту величину называют приведенной комптоновской длиной волны и записывают так: (а величину называют приведенной или редуцированной постоянной Планка).

Теперь получим оценку температуры черной дыры. С одной стороны, пределом для «вылезания» частицы из дыры будет равенство диаметра черной дыры и приведенной комптоновской длины волны (напомним, что мы всего лишь даем некую иллюстрацию, на самом деле никакие частицы из черной дыры не «вылупляются», они не пересекают горизонт «оттуда сюда», а возникают «с нашей стороны» из-за изменений параметров вакуума, связанных с нестационарностью горизонта). С другой стороны, при излучении у нас есть равенство для тепловой энергии частицы и энергии кванта:

где длина волны – это комптоновская длина.

Приведенную длину мы оценили как удвоенный радиус черной дыры, для которого используем стандартную формулу Шварцшильда:

Таким образом получаем:

Теперь соберем все вместе и получим выражение для температуры:

Формула лишь коэффициентом π отличается от точного значения. Разумеется, это совсем не строгий вывод, и, только зная аккуратно полученный правильный результат, можно потирать руки, радуясь тому, что мы таким простым способом получили столь фундаментальную формулу. Тем не менее приятно, что можно построить такую наглядную цепочку рассуждений.

Отметим, что при уже упоминавшейся массе 10 26г температура будет примерно равна современной температуре реликтового излучения, заполняющего всю вселенную (в прошлом температура была выше). Так что, даже если мы сейчас поместим черную дыру в совсем пустую область космоса, она все равно будет расти за счет поглощения фотонов реликта при массе больше 10 26г.

Итак, у нас есть температура, значит, в первом приближении мы можем посчитать светимость [112] Отметим, что здесь мы получаем оценку для того периода испарения черной дыры, когда испускаются только кванты электромагнитного излучения. Именно этот этап жизни черной дыры длится дольше всего. . Для теплового излучения сферы радиуса R она рассчитывается по формуле

Напомним, что постоянная Стефана – Больцмана равна:

В качестве радиуса излучающей поверхности подставим шварцшильдовский радиус. Затем светимость запишем в таком виде:

т. е. мощность излучения определяется темпом потери массы. Тогда мы сможем записать:

Проведем интегрирование от начальной массы M до нуля (полное испарение) и для времени полного испарения получим:

Точная формула выглядит так:

Мы снова с точностью до численных коэффициентов получили верный результат!

Можно получить его и несколько иначе. Пусть энергия уносится квантами электромагнитного излучения (напомним, что на первых этапах испарения, пока температура недостаточно велика, частицы не рождаются – только излучение). Энергия одного кванта равна Характерное время испускания составляет Δt = λ/ c . Запишем вначале такое выражение (оно соответствует светимости L ):

Значит:

Нам надо оценить время излучения всей массы черной дыры, т. е. время потери энергии E = Mc 2 . Обозначим это время, как и выше, буквой τ и вместе с E γ подставим в уравнение E = Mc 2 . Это можно описать и иначе:

Получим:

Иначе говоря, снова тот же результат, верный с точностью до небольшого численного коэффициента.

Когда температура черной дыры становится достаточно высокой для того, чтобы рождались не только кванты электромагнитного излучения, но и частицы, коэффициент в формуле немного изменяется. Поэтому для совсем легких черных дыр формула работает лишь примерно: они испаряются несколько быстрее.

Что здесь для нас важно с точки зрения астрофизики? Испаряющиеся черные дыры являются уникальными источниками, проявления которых можно надеяться выявить. Здесь астрономы идут разными путями.

Во-первых, можно искать сами вспышки, связанные с последними моментами жизни черных дыр, причем как в гамма-диапазоне (ведь температура растет с падением массы, и на финальных стадиях испускается много гамма-излучения), так и в других, в первую очередь в радиодиапазоне. К сожалению, ничего пока не обнаружено. Заметим, что на финальных стадиях, несмотря на высокую температуру, светимость объекта невелика (намного меньше солнечной). Действительно, ведь от черной дыры почти ничего не осталось – за последнюю десятую долю секунды испаряются последние тонны вещества (а за последнюю минуту – несколько сотен тонн). Поэтому вспышки в гамма-диапазоне (где их легче искать) доступны с помощью современной аппаратуры лишь с расстояний порядка одного парсека и меньше.

Остроумный подход использовала коллаборация спутника Fermi [113] Статья с результатами этих исследований была опубликована в 2018 г. в Astrophysical Journal и доступна в архиве е-принтов на сайте arxiv.org под номером 1802.00100. . Допустим, мы могли пропустить вспышку (или ни один из аппаратов не смотрел в нужную сторону, или вспышка была слаба, или еще что-то помешало, например солнечная активность). Но за годы до момента своего исчезновения достаточно близкая черная дыра является заметным гамма-источником, чьи светимость и спектр меняются по более или менее известному закону. А кроме того, поскольку объект достаточно близкий, можно заметить его смещение на небе. Соответственно, был проведен поиск источников, которые исчезли за несколько лет мониторинга всего неба в гамма-диапазоне обсерваторией «Ферми», и при этом определенным образом эволюционировали их светимости и спектральные параметры, а также изменялись координаты. Опять-таки ничего обнаружить не удалось, но был дан самый жесткий предел на темп испарения черных дыр в наших окрестностях: менее десятка тысяч событий в год в объеме один кубический парсек.