Искусственный интеллект

Можно спорить с неоинтуиционизмом по вопросу о том, является ли геометрия самостоятельной областью математики (если, конечно, не считать самого понятия континиума, вытекающего из их представления о «свободно становящихся последовательностях») и сводится ли она к анализу или нет. Но каким бы не был итог этого спора, он не может изменить эпистемологической природы положений математики. Использование наглядных символьных репрезентаций в математике не означает, что манипулирование ими в воображаемом идеальном математическом пространстве подчинено генетически направляемым неартикулированнъш холистическим стратегиям пространственно-образного мышления. Воображаемое математическое пространство генерируется нашим пространственно-образным мышлением благодаря развившемуся в ходе когнитивной эволюции людей управлению со стороны символьного (вербальное) сознания и доминирующего знаково-символического мышления. В результате появляется возможность использовать аналитические стратегии, адаптированные к нуждам визуального оперирования с перцептивными мысленными репрезентациями - символьными изображениями, графиками, схемами и т.д., которые поддаются разложению на более простые элементы. Переход от «аналитических» к «геометрическим» репрезентациям и обратно дает огромные когнитивные преимущества в математике, но этот переход не равнозначен некоему «переходу» от знаково-символического мышления к мышлению пространственно -образно му.

Применение математических формализмов в качестве «порождающей грамматики» концептуальной системы конкретной дисциплины предполагает приписывание специально-научной интерпретации (смысла) математическим понятиям и формулам. Так, например, выражение dx/dt обладает сугубо математическим смыслом и может быть интерпретировано как полная производная некоторой функции х. В классической механике этому же выражению может быть приписано физическая интерпретация (смысл) - мгновенная скорость изменения положения в пространстве (обозначаемой х) материальной точки. Аналогичным образом с помощью математических формализмов и их преобразований определяются и другие понятия классической механики, например, ускорение, импульс силы, количество движения тела, мощность и т.д. в механике формулируются с помощью Дифференциальные или операторные уравнения, на языке которых формулируются законы движения в механике, также порождают новые понятия. Так, например, стало возможным специфицировать понятие волны (как процесс распространения колебаний в среде) с помощью математической функцией, удовлетворяющей некоторому дифференциальному уравнению (волновому).

По словам Л. де Бройля, «теория также должна иметь свои инструменты, для того чтобы получить возможность формулировать свои концепции в строгой форме и строго вывести из предположения, которые можно было бы точно сравнить с результатами эксперимента; но эти инструменты являются, главным образом, инструментами интеллектуального порядка, математическими инструментами, если можно так сказать, которые теория постепенно получила благодаря развитию арифметики, геометрии, анализа и которые не перестают множиться и совершенствоваться». (Бройль Л. де. По тропам науки. М., 1962, С. 163.)

См. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Синергетика - новые возможности. М, 1989. С. 4.

См.: Лимборская С.А., Хуснутдинова Э.К, Балановская Е.В. Эгногеноми-ка и геногеография народов Восточной Европы. М., 2002; Underhill Р.А. et al. Y chromosome sequence variation and history of human population. // Natural Genet. 2000, № 26; Zhevetovsky L.A., Rosenberg N.A., Pritchard J.K. et al. A global picture of ancient expression of modem human revealed by a large set of autosomal STRs // Amer. J. Human Genet. 2002 (subm). Zhivetovsky L.A. et al. Genetic structure of human population// Science. 2002 (subm).

Более подробно см. : Знатное С.Ю. Эпистемологический статус компьютерных теорем. Кандидатская диссертация. М., 2000.

См., например: Бирюков Б.В. Борьба вокруг логики в Московском государственном университете в первое послесталинское десятилетие (1954-1966). В: Логика и В.Е.К. М., 2003.

Существует некоторое разногласие по вопросу о том, является ли символ равенства нелогическим знаком. Согласно | Рассва Сикорский 1972, с. 222], «... формализованные теории первого порядка содержат в своем языке некоторый бинарный предикат, который соответствует отношению равенства и называется знаком равенства». С другой стороны, в [Шенфидд 1975, с. 42] находим следующую формулировку: «Функциональный символ или предикатный символ, отличный от =, называется нелогическим символом', остальные символы называются логическими»

Программа Колмогорова по основаниям классической теоретико-множественной математики

Только Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) высказал принципиально новые идеи, приведшие к решению Центральной проблемы Гильберта.

Программа Колмогорова по основаниям КМ состоит в том, что при построении исчисления, решающего Центральную проблему Гильберта, надо учитывать две компоненты КМ (классической теоретико-множественной математики) - вычислительную (алгоритмическую) и дедуктивную (логическую) и одновременно отражать без ограничений два канторовских принципа теории множеств - неограниченное свертывание и неограниченную логику, применением которых строятся все выводы КМ.

Программа Колмогорова обусловлена его работой 1925 г. «О принципе Tertium non datur» [18, 19] и сформулирована Андреем Николаевичем автору в 1980-1987 гг. (см. статьи [20] «Вариант формализации канторовской теории множеств» (1999 г.), [21] «Решение проблемы Гильберта по Колмогорову» (2000 г.) и настоящую работу).

Автор осознал существование и величие программы Колмогорова только к 1994 году, когда познакомился с анализом Константина

: Г=>0. d ; ( Ь) г|, Г=>0

* Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ. Проект 05-03-03134а

См. об этом Лекторский В.А. Эпистемология классическая и неклассическая. -М.: 2001.

Степин В.С. Теоретическое знание. - М, 2000, с.633.

Существует широкий круг литературы по данной теме: труды Лекторского В.А., Степина В.С., Гайденко П.П. и др.

Микешина Л.А. Философия познания. Полемические главы. - М.: Прогресс-Традиция, 2002, с. 159.

Князева Е.Н. Концепция инактивированного познания: исторические предпосылки и перспективы развития // Эволюция. Мышление. Сознание. (Когнитивный подход и эпистемология) - М.: Канон+, 2004, с.308.