Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Вычислительные операции с числами с бесконечным десятичным представлением в глазах Гильберта тоже выглядят как игра в шахматы на доске с бесконечным числом клеток и фигур. Так же как в шахматах существуют фигуры, которые передвигаются по определенным заданным правилам, в математике существуют числа, которыми оперируют по определенным правилам. Так же как в шахматах всегда можно наверняка сказать, поставлен ли королю соперника мат или нет, ожидается, что и в математике можно всегда с уверенностью, руководствуясь определенными принципами, определить, верна какая-либо формула или нет.

В этой шахматной игре математики слово «бесконечный» является не чем иным, как фигурой. И так же, как шахматный король не владеет королевством, не правит народом и не творит историю, а является всего лишь точеным куском дерева в руке игрока, бесконечное, согласно правилам игры Гильберта, является лишь пустым понятием, которому не соответствует ни нечто действительно великое, ни просто большое. «Бесконечное» — это всего лишь слово, с которым обходятся в соответствии с предписанными правилами. Следует, таким образом, показать, чего позволяет достичь отточенная строгой системой правил математическая «шахматная игра», в которой «бесконечное» — это такая же фигура, как, например, король в обычных шахматах, — и нужно просто следовать законам конечной арифметики, то есть вычислительным операциям с хорошо известными конечными числами. С одной стороны, все встречающиеся в этой математике формулы могут быть либо истинными, либо ложными, а с другой стороны, могут оказаться парадоксальными, но не противоречивыми, то есть не ведущими в логический тупик.

Сотрудники Гильберта, и среди них Пауль Бернайс, Вильгельм Аккерман, Жак Эрбран и Джон фон Нейман, сразу и со всей серьезностью отнеслись к программе своего наставника. В связи с этим стоит сказать пару слов о каждом из этих людей.

Пауль Бернайс родился в Лондоне и впоследствии стал жителем Цюриха. В молодости он учился в Париже, Берлине, а затем в Гёттингене. В Гёттингене (с небольшим перерывом на поездки в Цюрих) Бернайс преподавал до 1933 г. Изгнанный из Германии как еврей, он уехал в Швейцарию, где до конца жизни проработал в Высшей технической школе Цюриха. Вместе с Джоном фон Нейманом он разработал изящную систему правил, состоящую из аксиом, рассматривающих как числа, так и «бесконечное» как «фигуры» математической «игры». Надо было всего лишь доказать, что эта система аксиом полна и непротиворечива.

Вильгельм Аккерман был одним из самых верных учеников Гильберта, которому, несмотря на все его усилия работать с программой своего учителя, путь в университет так и остался закрытым. Он выбрал для себя профессию преподавателя гимназии и почти до самой смерти безупречно исполнял эту обязанность. Ходили упорные слухи о том, что Гильберт не пустил Аккермана в университет из-за женитьбы. «О, это же просто великолепно! — будто бы воскликнул Гильберт [31], когда узнал о свадьбе Аккермана. — Для меня это хорошая новость. Ибо если этот человек настолько безумен, что женился и даже завел ребенка, то теперь я свободен от всяких обязательств перед ним».

Жак Эрбран в 1925 г. блестяще окончил Высшую нормальную школу в Париже, а затем учился в Гёттингене у Джона фон Неймана и Эмми Нётер. Он был знаком с программой Гильберта, внес в ее разработку многообещающий вклад, но, к несчастью, погиб во время восхождения в Альпах в возрасте двадцати трех лет.

Джон фон Нейман появился на свет в 1903 г. в тогда еще императорско-королевском Будапеште. Звали его тогда Нейман Янош, и он был отпрыском преуспевающего банкирского семейства. С детства он поражал всех своими разносторонними дарованиями: говорил на дюжине языков, на некоторых из них быстрее носителей. В Будапеште и Цюрихе он проявил блестящие дарования в химии и математике; для квантовой физики он создал логически законченную систему аксиом, как в свое время Гильберт для геометрии; человечество обязано Джону фон Нейману изобретением «архитектуры», лежащей в основании вычислительной техники; совместно с Оскаром Моргенштерном разработал математическую теорию игр, а на склоне лет консультировал стратегов из внешнеполитического и военного ведомств Америки. С его пылким характером, невероятными познаниями, потрясающим мышлением и безусловной порядочностью, Джон фон Нейман считался и был на самом деле мастером на все руки в науке. Кому, как не ему, можно было доверить скорейшее воплощение в жизнь программы Гильберта.

Действительно, уже в первые годы выполнения программы Гильберта были получены обнадеживающие частные результаты. Казалось, Гильбертово воинство почти достигло его цели — опровергнуть «ignorabimus» Дюбуа-Реймона от математики.

Сам Гильберт, однако, уже не имел в виду изобретателя лозунга «ignorabimus», когда в 1925 г. провозглашал свою программу, ибо к тому времени Дюбуа-Реймона уже тридцать лет как не было в живых. К этому шагу Гильберта побудил вполне живой и очень активный противник: Герман Вейль, критик, поставивший под сомнение возможность вычислений с числами с бесконечным десятичным представлением, вычислений, возможность которых провозгласил Гильберт в своей программе. Было горько сознавать, что противником оказался лучший его ученик.

Человеком, равным по гениальности Гильберту, но совершенно иным по сути, был великий французский математик начала ХХ в. Анри Пуанкаре, старший двоюродный брат будущего президента Франции Раймона Пуанкаре. В начале ХХ в. венгерский психолог Лайош Секели исследовал вопрос о том, как именно гении овладевают своими познаниями. Когда Секели спросил Пуанкаре, при каких обстоятельствах он сделал одно из своих величайших открытий, он получил поразительный ответ: «Когда входил в трамвай».

В другом месте Пуанкаре высказался более обстоятельно: «Пятнадцать дней я безуспешно бился в попытках доказать, что не могут существовать функции, которые я позднее назвал фуксовыми функциями. В ту пору я был очень невежественным; каждый день я садился за письменный стол и проводил за ним около двух часов, перебирая множество разнообразных комбинаций, но безрезультатно. Однажды вечером я вопреки обыкновению выпил чашку черного кофе, и очень долго не мог заснуть. Идеи начали роиться в моей голове и суматошно сталкивались друг с другом до тех пор, пока я не упорядочил их попарно, создав, так сказать, стабильные комбинации. К утру у меня в голове оформилась идея о существовании целого класса фуксовых функций, и мне оставалось лишь записать ее. На запись у меня ушло всего пара часов».