Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Парижский меридиан был общепризнанным ориентиром вплоть до международной конференции в Вашингтоне в 1884 г. С этого момента в качестве отправной точки признавали Гринвичский меридиан, проходящий через Королевскую обсерваторию в Лондоне. В свою очередь, англичане переняли у французов метрическую систему, которую используют по сей день.

С появлением компьютеров и спутников тригонометрические таблицы и триангуляция земли стали бесполезными. Но тригонометрия как таковая никуда не исчезла. Она находится в самом сердце процессоров. Треугольники скрыты, но они все еще там.

Достаточно взглянуть на автомобили, припаркованные на проспекте перед обсерваторией. Многие из них оснащены системой GPS. В каждую секунду их положение определяется четырьмя спутниками из космоса. Для определения положения в их вычислениях до сих пор используются тригонометрические свойства. Догадываются ли автомобилисты, что, пока голос подсказывает, что необходимо повернуть налево, процессор проводит вычисления синуса или косинуса?

А вы когда-нибудь замечали, как полицейские в детективных сериалах определяют местоположение телефона подозреваемого с помощью триангуляции? Суть данного метода сводится к тому, что положение сотового телефона определяется по расстоянию до трех ближайших антенн. Эта геометрическая задача решается без проблем благодаря тригонометрическим формулам – современные компьютеры молниеносно выполняют эти операции.

С помощью тригонометрии можно не только измерять существующие величины, но и конструировать виртуальную реальность. Достижения этой науки широко используются в создании 3D-анимационных фильмов и видеоигр. Под текстурами, обрабатываемыми графическими дизайнерами, скрываются 3D-формы, состоящие из геометрических сеток, странным образом напоминающие триангуляции Кассини. Именно благодаря деформации этих связей создаются объекты и фигуры. Моделирование даже самого простого 3D-изображения, как, например, чайник Юта, который был одним из первых объектов, созданных на компьютере в 1975 г., требует применения большого числа тригонометрических формул.

Вернемся в Багдад. Особенный след в истории оставили работы одного из ученых, посещавших Байт аль-Хикму: его имя Мухаммад ибн аль-Хорезми.

Аль-Хорезми – персидский математик, родившийся в 780-х гг. Его семья жила в Хорезме, государстве, расположенном на территории современных Ирана, Узбекистана и Туркменистана. Нет однозначных данных, родился ли аль-Хорезми здесь или его родители эмигрировали в Багдад еще до его рождения, – доподлинно известно только то, что молодой ученый жил в Багдаде в начале IX в. Он был одним из первых ученых, работавших в Байт аль-Хикме и создавших ее репутацию как ведущего исследовательского центра своего времени.

В Багдаде аль-Хорезми был известен прежде всего как астроном. Он написал несколько теоретических работ, в основе которых лежали открытия, сделанные в Древней Греции и Индии, а также практические книги по использованию солнечных часов и изготовлению астролябии. Он также использовал свои знания для составления таблиц, в которых записывали широту и долготу важнейших географических точек. Вдохновленный Птолемеем, в качестве нулевого аль-Хорезми выбрал меридиан, проходящий через мифологические Счастливые острова в западной части мира, положение которых приблизительно соответствует Канарам.

В математике аль-Хорезми оставил свой след как автор знаменитой «Книги об индийском счете», в которой описывалась позиционная десятичная система исчисления. Одной этой работы было бы достаточно, чтобы войти в пантеон величайших математиков; однако он написал еще одну революционного книгу, благодаря которой безоговорочно обеспечил себе место среди величайших математиков истории, наряду с Архимедом или Брахмагуптой.

Эту книгу ему заказал лично Абдуллах аль-Мамун. Халиф хотел, чтобы у его подданных была книга, которая помогала бы решать задачи, возникающие у них в повседневной жизни. Аль-Хорезми начал составлять список таких проблем, сопровождая их методами решения. В его книге описаны многочисленные вопросы измерения земель, порядок коммерческих сделок, а также распределения наследства между членами семьи.

Решение описанных проблем, хотя и имело большой интерес, не носило прорывной характер, и, если бы аль-Хорезми не писал эту книгу по заказу халифа, она, вероятно, не сохранилась бы в истории. Поэтому персидский ученый решил не останавливаться на достигнутом и добавить в предисловие к книге теоретическую часть. Аль-Хорезми приводит в ней структурированные и абстрактные методы решения, которые могут быть применены для решения конкретных задач.

Книга аль-Хорезми получила название « Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала », или « Краткая книга восполнения и противопоставления ». Когда позднее ее перевели на латинский язык, последние слова арабского названия были транслитерированы, и книга была названа « Либер Алгебре Альмукабола» (Liber Algebræ et Almucabola). Постепенно часть термина Альмукабола была редуцирована, и осталось только одно слово, которое с тех пор обозначало дисциплину, основоположником которой был аль-Хорезми: «аль-джабр» (al-jabr), «алгебре» (algebræ), «алгебра».

В этой книге особенно ценны даже не конкретные математические примеры, а скорее используемые методы и формулировки, которые по праву могут быть названы революционными. Автор рассматривал методы решения задач безотносительно конкретных частных случаев. Чтобы понять, о чем идет речь, давайте рассмотрим следующие три задачи.

1. Ширина прямоугольного поля равна 5 единицам, а площадь – 30. Какова его длина?

2. 30-летний мужчина в 5 раз старше своего сына. Сколько лет его сыну?

3. Торговец купил 30 кг ткани в 5 равных рулонах. Сколько весит один рулон?

Во всех трех случаях ответ будет 6. Мы легко можем решить эти задачи, хотя речь в них идет о разных предметах, с точки зрения математики способ расчета тот же. Во всех трех случаях результат получается путем деления: 30 ÷ 5 = 6. Первый шаг аль-Хорезми заключался в том, что он стал рассматривать данные задачи с чисто математической точки зрения:

Найдем число, которое при умножении на 5 дает 30 .

В такой формулировке нам неизвестно, что скрывается за числами 5 и 30. Это могут быть как геометрические параметры, возраст или рулоны ткани, так и что угодно еще! Это не влияет на решение поставленного вопроса. Задача алгебры – предложить методы решения математических задач, сформулированных в общем виде. Эти задачи через несколько столетий получат в Европе название «уравнения».